Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

g______d в сообщении #881044 писал(а):

Например, в анализе (даже для нематематиков) показать пару теорем, использующих $\varepsilon$-$\delta$ язык.

Ну, показать пару теорем (и не выносить их на экзамен) - это всё-таки совсем не то же самое, что доказывать все факты как теоремы, а их доказательства спрашивать на экзамене.

g______d в сообщении #881044 писал(а):

Степень подробности — другой вопрос, но мне не кажется полезным изобретать (принципиально) другие теоремы и (принципиально) другие определения специально для не-математиков.

Я повторю, что определение ≠ суть. И если можно сохранять математические определения, то суть для нематематиков надо рассказывать всё-таки иначе. А определения можно "пробегать бегом".

g______d в сообщении #881044 писал(а):

Для кого? Если для не-математиков...

Для детей, которые ещё не определились, математики они или не математики. Вот для них это представление может нанести катастрофический вред.

Например, я в школе колебался, что мне интересней: математика, физика или программирование. "Всё такое вкусное!" Хорошо, что меня тогда никто не пугал Бурбаками.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

пугание Бурбаками началось, если я не ошибаюсь, с легкой руки Арнольда. Совершенно несправедливое пугание.
книги "топологические векторные пространства", "линейная и полилинейная алгебра, "функции действительного переменного" написаны очень внятно и выигрывают в этом смысле по сравнению с многими другими текстами того же уровня.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #881188 писал(а):

линейная и полилинейная алгебра,

Это название подразумевает, что обычная линейная алгебра про скалярные произведения ничего не знает.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #881188 писал(а):

пугание Бурбаками началось, если я не ошибаюсь, с легкой руки Арнольда. Совершенно несправедливое пугание.

Ладно, не Бурбаками. Скорее, вот этим:

Цитата:

Нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых математиков. Логическая строгость, достигаемая подобными исследованиями, чрезвычайно ценна, но она едва ли может появиться прежде, чем мы ухватили саму идею.

[g______d]

Munin в сообщении #881176 писал(а):

Хорошо, что меня тогда никто не пугал Бурбаками.

А почему хорошо? Потому что математиком могли бы стать?

Munin в сообщении #881176 писал(а):

Я повторю, что определение ≠ суть. И если можно сохранять математические определения, то суть для нематематиков надо рассказывать всё-таки иначе. А определения можно "пробегать бегом".

Суть можно и для математиков, и для не-математиков рассказывать совершенно по-разному.

ewert в сообщении #881198 писал(а):

Это название подразумевает, что обычная линейная алгебра про скалярные произведения ничего не знает.

Я могу понять причины, по которым конечномерные гильбертовы пространства рассматриваются одновеременно с бесконечномерными в книге по функциональному анализу. Всё-таки это не совсем чистая алгебра. Большинство конструкций линейной/полилинейной алгебры (двойственность, тензорные произведения, разные полилинейные формы) широко используются над произвольными полями и над кольцами (даже не обязательно коммутативными), а скалярные произведения над чем-то кроме $\mathbb R$ и $\mathbb C$ – это экзотика. Ну может быть ещё $\mathbb Q_p$.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #881176 писал(а):

Я повторю, что определение ≠ суть. И если можно сохранять математические определения, то суть для нематематиков надо рассказывать всё-таки иначе. А определения можно "пробегать бегом".

Определения можно выбирать разные, и желательно выбирать такие, с которыми легче работать и которые отражают суть задачи. Тогда они будут помогать, а не мешать, и их не захочется пробегать бегом.

[Munin]

g______d в сообщении #881642 писал(а):

А почему хорошо? Потому что математиком могли бы стать?

Как раз наоборот, математикой меня могли испугать, и от неё отвратить. А поскольку я не знал об этих ужасах, то вполне математики не боялся, и любил. И до сих пор сохранил ощущение с детства, что математика - это такая коробка игрушек и шкатулка самоцветов, а по отношению к физике - связка ключей.

g______d в сообщении #881642 писал(а):

Суть можно и для математиков, и для не-математиков рассказывать совершенно по-разному.

Она для них и сама по себе разная.

-- 29.06.2014 14:55:06 --

mishafromusa в сообщении #881651 писал(а):

Определения можно выбирать разные, и желательно выбирать такие, с которыми легче работать и которые отражают суть задачи.

Это хорошо, что вы это понимаете.

Это плохо, что вы это не используете.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #881781 писал(а):

Это плохо, что вы это не используете.

Неправда. Вы сличком быстро его пробежали.

[ewert]

Ну хорошо. Какую конкретно "суть" отражает липшицевость производной, т.е. линейность остатка?

Для вывода формул она не нужна -- достаточно всего лишь малости остатка (и вот именно в просто малости и суть).

Для практических вычислений она чуть более чем бесполезна -- на практике константа Липшица всё равно обычно неконтролируема.

[mishafromusa]

Липщицева оценка -- самая простая и позволяет сразу построить дифференцирование и интегрирование на элементарном уровне, не привлекая более сложных и общих понятий. Это привлекательный подход для людей, интересующихся приложениями, да и для математиов, предпочитающих идти от частного к общему. Полученная теория применима для достаточно широкого круга задач и даёт почву для дальнвйших обобщений.

Формулировка "просто малости" громоздкая, и требует либо эпсилон-дельта либо обшего модуля непрерывности, если говорить о равномерной дифференцируемости. Поточечные же дифференцируемость и непрерывность к тому же сразу уводит нас в дебри полноты и компактности.

Липшицева константа может быть оценена либо напрямую, либо через вторую производную, а эпсилон-дельта сами по себе не содержат и намёка на контролируемость.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #881995 писал(а):

Липщицева оценка -- самая простая

из чего?

mishafromusa в сообщении #881995 писал(а):

и позволяет сразу построить дифференцирование и интегрирование на элементарном уровне, не привлекая более сложных и общих понятий

Это вы про понятие предела?

[mishafromusa]

Ещё один пример стрельбы из пушки по воробьям -- это использование теоремы Лагранжа для доказательства возрастания функции с положительной производной. Для теоремы Лагранжа нужна компактность, а для теоремы о возрастании она не нужна, достаточно полноты. Беря точную верхнюю грань $m$ чисел $x$ между $a$ и $b$, для которых $f(a) \le f(x)$, мы сразу видим, что $m=b$.

-- 29.06.2014, 14:59 --

Munin в сообщении #882021 писал(а):

из чего?

Из кандидатов на оценку, характеризующую приблизительную линейность дифференцируемой функции.

-- 29.06.2014, 15:02 --

mishafromusa в сообщении #882030 писал(а):

Это вы про понятие предела?

Нет, прочитайте, пожалуйста, начало предложения. Вы всё время сбиваетесь на пределы, непонятное нас всегда беспокоит.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #882030 писал(а):

Из кандидатов на оценку, характеризующую приблизительную линейность дифференцируемой функции.

А нам они для чо?

mishafromusa в сообщении #882030 писал(а):

Нет

А про что, про эпсилон-дельту?

[mishafromusa]

Munin, зачем продолжать говорить, когда сказать нечего? Для популярности?

-- 29.06.2014, 15:37 --

Munin в сообщении #882045 писал(а):

А нам они для чо?

Они дают возможные определения производной, так что Вам это не нужно, Вы же и без определений можете.

-- 29.06.2014, 15:38 --

[Xugin]

Munin в сообщении #881176 писал(а):

Например, я в школе колебался, что мне интересней: математика, физика или программирование.

А что послужило выбором приоритета физики, если вопрос не слишком личный?