Ряды 2

[ewert]

champion12 в сообщении #881103 писал(а):

вот уже не знаю как проверять

При каких альфах не получается?

При каких альфах гарантирована абсолютная сходимость (а заодно уж и равномерная) -- Вам известно?...

[Otta]

champion12 в сообщении #881103 писал(а):

Равномерной занимался, дирихле, потому как для поточечной не получается подобрать признак,

Так. Я смотрю сюда: post880896.html#p880896
Я вижу вот это:

champion12 в сообщении #880896 писал(а):

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}$ сходится по Дирихле, так как:

Я не вижу корректного обоснования сходимости.
Не надо заниматься равномерной, пока не выяснена поточечная. Где равномерная делается сразу, Вы уже сделали.

[champion12]

ewert в сообщении #881104 писал(а):

champion12 в сообщении #881103 писал(а):

вот уже не знаю как проверять

При каких альфах не получается?

При каких альфах гарантирована абсолютная сходимость (а заодно уж и равномерная) -- Вам известно?...

При $\alpha>1$ будет равномерная, это хорошо понял, а вот при $\alpha\in(0;1]$ -- не получается исследовать ни на равномерную, ни на поточеную.

-- 28.06.2014, 11:53 --

Otta в сообщении #881106 писал(а):

Не надо заниматься равномерной, пока не выяснена поточечная. Где равномерная делается сразу, Вы уже сделали.

Ок, Дирихле -- это на равномерную сходимость, тогда не буду пока заниматься. А как поточечную смотреть, все еще не ясно. Понимаю, что достаточно посмотреть $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}$ на поточечную, чтобы узнать поточечную исходного ряда.

[ewert]

champion12 в сообщении #881114 писал(а):

Ок, Дирихле -- это на равномерную сходимость,

Вообще-то именно на поточечную, и Вы начали было заниматься, да чего-то забросили:

champion12 в сообщении #880904 писал(а):

Монотонность выполняется.

Почему?

champion12 в сообщении #880904 писал(а):

Ну а так константу, которая ограничила частичные суммы другую не придумать.

Сумма синусов -- это стандартная подзадача. Её можно посчитать двумя способами (как минимум).

1). (хитрый) Домножить её на просто $\sin x$ (а ещё лучше на $\sin\frac{x}2$) и превратить каждое произведение в разность косинусов. Внутренние косинусы посокращаются, а разность крайних снова свернуть в произведение синусов.

2). (тупой) Выразить каждый синус через комплексные экспоненты, свернуть две получившиеся геометрические прогрессии и результат снова выразить через синусы.

Сделайте честно хоть что-нибудь.

И, кстати: а чего там следует ожидать при $\alpha\leqslant0$ ?...

[champion12]

ewert в сообщении #881127 писал(а):

champion12 в сообщении #881114 писал(а):

Ок, Дирихле -- это на равномерную сходимость,

Вообще-то именно на поточечную, и Вы начали было заниматься, да чего-то забросили:

-- 28.06.2014, 12:34 --

$$S_n=\sin x+\sin(2x)+...+\sin(nx)$$

$$S_n\cdot \sin(\frac{x}{2})=\sin(\frac{x}{2})\sin x+\sin(\frac{x}{2})\sin(2x)+...+\sin(\frac{x}{2})\sin(nx)=$$

$$=0,5(\cos(\frac{x}{2}-x)- \cos(\frac{x}{2}+x)+\cos(\frac{x}{2}-2x)- \cos(\frac{x}{2}+2x)+...+\cos(\frac{x}{2}-nx)- \cos(\frac{x}{2}+nx))$$

А как дальше?

[ewert]

Да, этот признак можно использовать в т.ч. и для равномерной сходимости. Но вовсе не обязательно для равномерной. Этот признак возникает вообще-то до всяких функциональных рядов, а как он потом на них распространяется -- вопрос уже следующий.

-- Сб июн 28, 2014 13:36:34 --

champion12 в сообщении #881129 писал(а):

А как дальше?

Сложите честно иксы под каждым косинусом -- авось чего и усмотрится...

[champion12]

$$=0,5(\cos(\frac{x}{2}-x)- \cos(\frac{x}{2}+x)+\cos(\frac{x}{2}-2x)- \cos(\frac{x}{2}+2x)+...+\cos(\frac{x}{2}-nx)- \cos(\frac{x}{2}+nx))=$$

$$=0,5(\cos(\frac{x}{2})- \cos(\frac{3x}{2})+\cos(\frac{3x}{2})- \cos(\frac{5x}{2})+...+\cos(\frac{x}{2}-nx)- \cos(\frac{x}{2}+nx))=0,5(\cos(\frac{x}{2})- \cos(\frac{x}{2}+nx))$$

$S_n\cdot \sin(\frac{x}{2})=0,5(\cos(\frac{x}{2})- \cos(\frac{x}{2}+nx))=-\sin(\frac{x+nx}{2})\sin(\frac{x-nx}{2})$

$S_n=-\dfrac{\sin(\frac{x+nx}{2})\sin(\frac{x-nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}$

Так?

[Otta]

champion12 Все-таки Вас двое. post877599.html#p877599
Так, да.

(Оффтоп)

И когда я уже до Вас донесу простую мысль, что наличие икса не обязывает к исследованию на равномерную сходимость? Или Вы признака Дирихле не выучили для числовых рядов просто-напросто?

[ewert]

Так, только ещё полезно иксы вверху вынести за скобки.

А вот теперь можно и призадуматься: в каком смысле эти суммы ограниченны, а в каком -- нет.

[Otta]

ewert в сообщении #881127 писал(а):

И, кстати: а чего там следует ожидать при $\alpha\leqslant0$ ?...

ewert, у него в исходной постановке ограничение $\alpha>0$. С чего бы вдруг такая роскошь, не знаю, но вот.

[ewert]

Ну задуматься-то в любом случае не вредно.

[Otta]

Задуматься полезно всегда, а то уже вторую тему вода в песок.

[champion12]

Otta в сообщении #881138 писал(а):

champion12 Все-таки Вас двое. post877599.html#p877599
Так, да.

(Оффтоп)

И когда я уже до Вас донесу простую мысль, что наличие икса не обязывает к исследованию на равномерную сходимость? Или Вы признака Дирихле не выучили для числовых рядов просто-напросто?

Не, просто ту формулу в интернете нашел для косинуса, а теперь понял -- как для суммы синусов выводится, видно для косинусов аналогичным способ была получена та формула.

Сейчас еще раз подумаю над дирихле.

-- 28.06.2014, 13:38 --

ewert в сообщении #881139 писал(а):

Так, только ещё полезно иксы вверху вынести за скобки.

А вот теперь можно и призадуматься: в каком смысле эти суммы ограниченны, а в каком -- нет.

При каждом фиксированном $x_0$ можно ограничить $\dfrac{1}{\sin(\frac{x_0}{2})}}$, если только $\sin(\frac{x_0}{2}})\ne 0$.

Потому будет поточечная сходимость в всех точках, кроме $x_0=2\pi k$ по признаку Дирихле для числовых рядов -- исходя их оценки + монотонность выполняется, на бесконечности предел равен нулю. А при $x_0=2\pi k$ ряд будет состоять из одних нулей, потому он будет сходитсься. Потому он будет сходиться при любо вещевственном $x$ и $\alpha>0$. Верно?

[Otta]

Верно. И смотрим, что осталось. А осталось посмотреть равномерную при $\alpha\le 1$.

[champion12]

Otta в сообщении #881196 писал(а):

Верно. И смотрим, что осталось. А осталось посмотреть равномерную при $\alpha\le 1$.

Ее наличие или отсутствие?