Ряды 2

[Otta]

ET в сообщении #880684 писал(а):

$\sum_{n=2}^{\infty}\ln(1+\frac{(-1)^n}n)$

Да, конечно. Спасибо.

[champion12]

Посмотрим сходимость исходного ряда:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\dfrac{(-1)^n}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;0<\alpha\le 1$

$\ln (1+x)=x+O(x^2)$

Ряд из $O(x^2)$ сходится абсолютно, потому ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\dfrac{(-1)^n}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;0<\alpha\le 1$ сходится условно. Верно?

Только пока что не пойму к чему это? Если был бы исходный ряд с $\cos(nx)$, тогда взяв $x_0=\pi$, получили бы $(-1)^n$, но этот же синус не перековеркать в косинус, даже с помощью формул приведения.

Да и сходимость в одной точке нам еще ни о чем не говорит. Нужно, чтобы в остальных тогда сходилось.

-- 27.06.2014, 12:27 --

ИСН в сообщении #880682 писал(а):

Ага, только у Вас буквы неправильные и не в том порядке (t, x - откуда они взялись? в формулировке их не было).
А можете найти сумму - ну, того, который без корня и сходится?

Можно постараться, но пока что не знаю -- как.

[ET]

champion12 в сообщении #880704 писал(а):

ИСН в сообщении #880682 писал(а):

А можете найти сумму - ну, того, который без корня и сходится?

Можно постараться, но пока что не знаю -- как.

Попробуйте найти первые несколько частичных сумм, может закономерность какую увидите:-)

[Otta]

champion12 в сообщении #880704 писал(а):

Только пока что не пойму к чему это? Если был бы исходный ряд с $\cos(nx)$, тогда взяв $x_0=\pi$, получили бы $(-1)^n$, но этот же синус не перековеркать в косинус, даже с помощью формул приведения.

Да и сходимость в одной точке нам еще ни о чем не говорит. Нужно, чтобы в остальных тогда сходилось.

Наверное, уже пора смотреть исходный ряд. А не такой:

champion12 в сообщении #880704 писал(а):

Посмотрим сходимость исходного ряда:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\dfrac{(-1)^n}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;0<\alpha\le 1$

[champion12]

То есть по тем же причинам исходный ряд сходится условно при $\alpha\in(0;1]$?

[Otta]

А Вы его исследовали, чтобы так уверенно говорить? И потом, на положительных альфа свет клином не сошелся.

Upd А, у Вас сошелся. Ну, Вам проще.

[champion12]

Да, разложил по формуле $\ln (1+x)=x+O(x^2)$

Потом $O(x^2)$ сходится равномерно по вейештрассу.

$x$ сходится равномерно по признаку дирихле, $a_n=\sin(nx)$, $b_n=\dfrac{(-1)^n}{n\ln^{\alpha}n}$

[Otta]

Будьте добры, напишите полностью. Я не знаю, кто такой у вас икс, никаких иксов не было, то есть они были, но в аргументе синуса. Что Вы разложили, что получили, сходимостью чего занимались. Потому что откуда у Вас вывалился вот этот $b_n$, я не понимаю вовсе.

[champion12]

$\ln\left(1+\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)=\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}+O\left(\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right)$

Ряд $O\left(\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right)$ сходится абсолютно, так $\left|\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right|\le \dfrac{C}{n^2}$

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}$ сходится по Дирихле, так как:

1) $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}=0$

2)

$$\left|\sum\limits_{n=1}^k \sin(nx)\right|=\left|\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(kx)\right|=\left|2\sin\left(\dfrac{(k+1)x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{(k-1)x}{2}\right)\cdot \dfrac{k}{2}\right|\le k$$

Тут была группировка от края к центру.

Значит равномерная сходимость при $\alpha>0$

[Otta]

champion12 в сообщении #880896 писал(а):

$$\left|\sum\limits_{n=1}^k \sin(nx)\right|=\left|\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(kx)\right|=\left|2\sin\left(\dfrac{(k+1)x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{(k-1)x}{2}\right)\cdot \dfrac{k}{2}\right|\le k$$

Это разве доказывает ограниченность? Ну и монотонность чего надо забыли вспомянуть.

[champion12]

Монотонность выполняется. Ну а так константу, которая ограничила частичные суммы другую не придумать. Такой константы нет?

[Otta]

Странные у Вас константы.
Есть, почему нет. Прошлая тема точно Вами писана?

[champion12]

Otta в сообщении #880905 писал(а):

Странные у Вас константы.
Есть, почему нет. Прошлая тема точно Вами писана?

Ой, да, точно. Мы же тогда выяснили, что не получится ограничить... А как тогда*?

[Otta]

Как именно не получается ограничить? какой сходимостью Вы сейчас занимаетесь и какая ограниченность Вам нужна? Как ограничить получается?

[champion12]

Равномерной занимался, дирихле, потому как для поточечной не получается подобрать признак, признаки сравнения не помогли, интегральный признак - тоже, лейбниц не годится, вот уже не знаю как проверять