Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[robot80]

Может не параллельно, а последовательно?
Предмет так и назывался - Высшая математика: 1 курс 1 семестр алгебра геометрия, анализ функций одного переменного, 1 курс 2 семестр анализ функций двух и более переменных, неопределенные, определенные интегралы; 2 курс 1 семестр кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. ряды, дифуры; 2 курс 2 семестр теория вероятностей и статистика.
Так было до введения бакалавриата, магистратуры и специалитета. Сейчас на некоторых направлениях бакалавриата действительно алгебру и матанализ читают параллельно, а на некоторых последовательно. В специалитете (горное дело, физические процессы, например) - все как было раньше, то есть последовательное изложение всех разделов высшей математики.

[Munin]

robot80 в сообщении #879257 писал(а):

Предмет так и назывался - Высшая математика: 1 курс 1 семестр алгебра геометрия, анализ функций одного переменного, 1 курс 2 семестр анализ функций двух и более переменных, неопределенные, определенные интегралы; 2 курс 1 семестр кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. ряды, дифуры; 2 курс 2 семестр теория вероятностей и статистика.

Что-то я вижу один матан, и никакой линейки. (Нельзя всю линейку впихнуть в часть одного семестра, там материала много, всё-таки.)

И вообще, всё как-то галопом по европам. Меньше семестра на дифуры? да ещё там же и ряды? А фкпа вообще отсутствует? Эх-х-х...

[robot80]

На самом деле все выглядело не так уж грустно. Распределение по часам было такое: лекции (практика) 68 - 34 - 34 - 34. То есть на линейную алгебру, аналитическую геометрию и анализ одного переменного приходилось 68 часов. Это достаточно много на самом деле, если "не растекаться мыслию по древу", а излагать только то, что нужно в дальнейшем. При этом, конечно, страдает "строгость" и "академизм" изложения; уничтожается большая часть теорем и доказательств.
Если встречали 4-хтомный сборник задач под редакцией Ефимова, Демидовича, то вот Вам пример классического набора тем и уровень их реализации для технических вузов.
----------------------------
ТФКП была как отдельный предмет для тех специальностей, где она была нужна.

[ex-math]

Munin
А именно так и есть в основной массе технических ВУЗов.
Линейка, говорите? Если кроме систем уравнений и вокруг что-то еще расскажут -- это уже удача. Собственные значения и векторы -- давно за гранью.
Дифуры? В основном линейной теорией ограничиваются.

-- 24.06.2014, 20:59 --

И это, конечно, очень грустно.
Помню, как при переходе на бакалавриат часы сократили в 2 раза. Была лекция и семинар, стало по половинке.

[mihailm]

robot80 в сообщении #879228 писал(а):

Да без разницы.В технических вузах и то и другое ведь в один предмет входит.

Не, иногда бывают небольшие отличия. У меня был отдельный от вышки семестровый курс ангем/линейка. Мне нравилось сразу пройти метод Гаусса и матричную алгебру, а потом использовать их где можно. Например, можно за 4-5 лекций пройти весь классический ангем и векторную алгебру.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #878954 писал(а):

mishafromusa в сообщении #878903 писал(а):

и не спешу запирать всё это в чёрный ящик, на котором написано "предел."

А кто так делает?

Не знаю кто сейчас, но, судя по результатам, ваш учитель матана делал именно так.

[Munin]

ex-math в сообщении #879362 писал(а):

А именно так и есть в основной массе технических ВУЗов.

Ну, значит, я знаком почему-то только не с основной массой. Спасибо, что просветили (хотя это печально).

ex-math в сообщении #879362 писал(а):

Дифуры? В основном линейной теорией ограничиваются.

Да в общем, линейные в основном и нужны. Но без линейки не объяснить хотя бы, что такое пространство решений дифура, и почему оно $n$-мерно. Кстати, собственные векторы как раз и доставляют линейному дифуру решение. Так что как без этого?..

ex-math в сообщении #879362 писал(а):

Помню, как при переходе на бакалавриат часы сократили в 2 раза. Была лекция и семинар, стало по половинке.

А, вот оно что.

mishafromusa в сообщении #879402 писал(а):

Не знаю кто сейчас, но, судя по результатам, ваш учитель матана делал именно так. :-(

Начались личные выпады? Ну-ну. Я, значит, не ошибся в вашей последней оценке.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #878504 писал(а):

То, что излагает mishafromusa, к школьному курсу никакого отношения не имеет

И даже то, как можно научить школьников дифференцированию и интегрированию в контексте липшицевых оценок?

-- 24.06.2014, 18:26 --



-- 24.06.2014, 18:32 --

Munin в сообщении #878511 писал(а):

1. Лично Рохлину не понравилось понятие пределов. mishafromusa возвёл это в абсолют. Оказалось плохо, но он этого не видит.

Это грубое враньё, я просто предлагаю с них не начинать. И что плохого в том, чтобы по-человечески обьяснить школьникам интегрирование и дифференцирование в упрощённом контексте? Что Вам лично в этом не нравится?

-- 24.06.2014, 18:41 --

Munin в сообщении #878511 писал(а):

При этом, не надо делать ошибки, и не надо для нематематиков снова выбрасывать суть, заменяя её на этот раз уже техникой вычислений и бессмысленными алгоритмами.

На одной сути никуда не уедешь, суть без техники вычислений и алгоритмов -- это пустое философствование. Более того, техника вычислений и алгоритмы (как и доказательства) не бессмысленны, а часто проясняют суть.

-- 24.06.2014, 18:45 --

Munin в сообщении #878511 писал(а):

Рохлин говорил о школьниках. mishafromusa о студентах. При этом теряется весь смысл и пафоса, и предложений.

Опять враньё, рассчитанное на людей, не читавших лекцию Рохлина. Он говорил и о школьниках, и о студентах. Я же говорил о любых людях, которые хотят освоить предмет.

-- 24.06.2014, 18:50 --

mihailm в сообщении #878512 писал(а):

Мне кажется, что:
- понятия матанализа можно было бы дать "нестрого, без настоящих определений" в 7-9 классах: по крайней мере, непрерывность, касательную, площадь под графиком, возрастание и экстремум.

Интерсно, что когда Вам прелагают конкретный способ изложить этот материал просто, ясно и доступхо для школьников, Вы его отвергаете.

-- 24.06.2014, 18:53 --

Munin в сообщении #878511 писал(а):

"патологических" случаев при этом можно не опасаться, например, в физике не встречается разрывных и недифференцируемых функций до вуза. Точнее, разрывные функции оказываются упрощениями от непрерывных, как например, скорость машины, которая первый участок пути ехала с одной скоростью, а второй участок пути - с другой скоростью.

Тогда чем же Вам не нравится липшицева теория?

-- 24.06.2014, 18:58 --

Munin в сообщении #878528 писал(а):

- возвращаясь обратно к реальности, замечаем, что в реальности у нас никакого графика нет, а смысл скорости мы можем описать только как $\Delta s\approx v\,\Delta t$ при достаточно малых $\Delta t$ - при таких, за которые $v\approx\mathrm{const}.$

А что Вы лично понимаете под этими приближёнными равенствами, можно объяснить? Вы можете их выразить в терминах неравенств?

-- 24.06.2014, 19:04 --

Munin в сообщении #878511 писал(а):

Школьникам можно давать примеры строгих теорий, но только факультативно, как иллюстрацию такой возможности, для удовлетворения любопытства, и не на оценку. Школьники ещё не определились с профессией и специальностью, даже матшкольники.

И им не нужно давать даже исключительно простых доказательств в несколько строчек? Вообще никаких? Даже когда они проясняют суть дела?

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #878390 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #878195 писал(а):

я, как всегда, торможу. Конечно речь идет о функции $f(x)=\sqrt{|x|}\ln|x|,\quad x\ne 0,\quad f(0)=0$

Если требуется поточечная непрерывность, то это просто, т.к. функция даже равномерно непрерывна на любом замкнутом отрезке, не включающем нуля, а доказательство непрерывности в нуле -- то же самое, что у Вас. Равномерная непрерывность около нуля следует из дополнительной оценки $- \ln (x+y) \sqrt(x+y) \le -x \sqrt(x)-y \sqrt(y)$, справедливой, скажем, при $0 \le x,y \le 1/20$.

Простите, я тут напутал с неравенством. Тут должно быть $- \ln (x+y) \sqrt(x+y) \le -\ln(x) \sqrt(x)-\ln(y) \sqrt(y)$. Это неравенство легко усмотреть из убывания производной от функции $-\ln(x)\sqrt(x)$ при малых $x$. А потом можно проверить это неравенство и прямой выкладкой. Замечу ещё, что производная и теорема о возрастании функции с положительной производной у меня уже есть.

-- 24.06.2014, 20:16 --

mishafromusa в сообщении #878417 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #878410 писал(а):

mishafromusa в сообщении #878390 писал(а):

доказательство непрерывности в нуле -- то же самое, что у Вас

у меня предел вычисляется по правилу Лопиталя...

Никакого правила Лопиталя здесь не нужно, нужно просто заметить, что экспонента на бесконечности растёт быстрее степени, Отсюда следует непрерывность в нуле.

На самом деле можно обойтись лишь неравенством $ax \le e^{ax}$, считая $a$ положительным, при положительных $x$.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #878511 писал(а):

Логика аналогичная: не все школьники пойдут в физики и технари, которым эта техника необходима (хотя доля технарей на порядки больше доли будущих математиков).

Согласно этой логике вообще никого ничему учить не надо, зачем детей травмировать зря этой бессмысленной ерундой? Это Ваш взгляд на математику, чисто потребительский.

-- 24.06.2014, 23:04 --

Munin в сообщении #878511 писал(а):

- строгое построение курса математики, со строгими определениями, доказательствами, традиционно начинается не раньше вуза. Школьникам можно давать примеры строгих теорий, но только факультативно, как иллюстрацию такой возможности, для удовлетворения любопытства, и не на оценку. Школьники ещё не определились с профессией и специальностью, даже матшкольники

Есть разные степени строгости, такой чёрно-белый подход совершенно не годится.

[mihailm]

mishafromusa в сообщении #879505 писал(а):

...

mihailm в сообщении #878512 писал(а):

Мне кажется, что:
- понятия матанализа можно было бы дать "нестрого, без настоящих определений" в 7-9 классах: по крайней мере, непрерывность, касательную, площадь под графиком, возрастание и экстремум.

Интерсно, что когда Вам прелагают конкретный способ изложить этот материал просто, ясно и доступхо для школьников, Вы его отвергаете...

mishafromusa, я этого не говорил!
А то что говорит Munin о школе и школьниках в контексте математики просто бессмысленно, так как живого школьника он по моему в последний раз видел, когда сам учился)

[mishafromusa]

Извините пожалуйста, это была цитата из него, а не из Вас.

-- 25.06.2014, 03:28 --

Munin в сообщении #878511 писал(а):

Пределы оказались органично встроены во всю систему понятий математики: касательные, объёмы, асимптотики, непрерывность.

"If all you have is a hammer, everything looks like a nail" -- Abraham H. Maslow
Если у вас есть только молоток, то вам везде мерещатся гвозди.

-- 25.06.2014, 03:51 --

Munin в сообщении #878511 писал(а):

Мне кажется, что:
- понятия матанализа можно было бы дать "нестрого, без настоящих определений" в 7-9 классах:

Вот интересные соображения на эту тему: http://fizmat.ucoz.com/_ld/0/2_Arnold_chto_tak.pdf стр. 4 и 5.

[mishafromusa]

"Дело -- продолжал Зельдович -- просто в том, что находить интересующие нас отношения конечных приращений трудно, поэтому и придуманы приближенные асимптотические формулы для них. Эти-то приближенные формулы математики и называют своими пределами и математическими производными. В любом реальном применении теории следует учитывать, меньше чего не следует делать приращения, чтобы результаты теории соответствовали эксперименту."

-- 25.06.2014, 04:39 --

robot80 в сообщении #878738 писал(а):

Пределы более сложных функций (с тригонометрией, логарифмами и прочим) оказались через последовательности не вычислимыми (без компьютера и калькулятора)

А с компьютером и калькулятором только приблизительно? Тут что-нибудь вроде Математика могло бы помочь, да компьютер не объясняет как он сосчитал Боюсь, что Математика и иже с ней просто манипулируют выражениями, а не ищут дельту для эпсилон, как завещал великий Вейерштрасс.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #879505 писал(а):

И даже то, как можно научить школьников дифференцированию и интегрированию в контексте липшицевых оценок?

А нельзя.

Во-первых, не школьников.

Во-вторых, как тут уже неоднократно сказали, это будет научить - НЕ дифференцированию и интегрированию. А если дифференцированию и интегрированию - то НЕ научить.

В-третьих, я упираю на то, что если не давать занудного (и поначалу непонятного) определения, то необходимо давать образ. А вы вместо этого даёте технику. Техника вторична, и нужна только в части приложений.

Напомню, что возможно как минимум три разных взгляда на производные: алгебро-технический ("как взять производную функции, заданной формулой"), геометро-графический ("как взять производную функции, заданной графиком"), и численный ("как взять производную функции, заданной процедурой вычисления в чёрном ящике").

Причём, меня не покидает ощущение, что теоретики математического анализа пользуются геометрическим взглядом не меньше, чем топологическими определениями. Втихаря. Не признаваясь иногда даже самому себе.

mishafromusa в сообщении #879505 писал(а):

И что плохого в том, чтобы по-человечески обьяснить школьникам интегрирование и дифференцирование в упрощённом контексте? Что Вам лично в этом не нравится?

В этом - нравится. Мне не нравится конкретный кандидат на "упрощённый контекст".

Увы, "король-то голый".

mishafromusa в сообщении #879505 писал(а):

На одной сути никуда не уедешь, суть без техники вычислений и алгоритмов -- это пустое философствование.

Ну что ж, вот на этой ошибке мы с вами, наверное, и распрощаемся. Вы ни черта не знаете физики и приложений дифференциального и интегрального исчисления, а дерзаете объяснять его нематематикам.

Это бессмысленно!

(Как я уже говорил неоднократно, и в т. ч. в тех темах, на которые вам давал ссылки, суть для физика - совсем другое, чем суть для математика. Суть для математика может происходить из определений, суть для физика - первичнее определений.)

mishafromusa в сообщении #879505 писал(а):

Я же говорил о любых людях,

то есть конкретно - ни о каких.

mishafromusa в сообщении #879505 писал(а):

А что Вы лично понимаете под этими приближёнными равенствами, можно объяснить? Вы можете их выразить в терминах неравенств?

Нет, не могу.

Что я под ними понимаю - рассказ очень долгий, и кажется, я не знаю ни одного его хорошего изложения. Начинается всё со знакомства с экспериментальными и вычислительными погрешностями ещё в школе, плюс с такими общеизвестными истинами, что "точность до процента - это хорошо, точность до 0,1 % - очень хорошо". Дальше идёт некоторое наукообразие: вероятность, статистика, и переход от диапазона разброса к "сигме" распределения. Иногда это принципиально важные вещи (например, в квантовых экспериментах), иногда не очень. И опять общеизвестные истины, что "уровень доверительной вероятности 95 % - хорошо, 99 % - очень хорошо" (хотя в физике экспериментальных частиц, например, принято добиваться целых $5\sigma$).

Другой нитью повествования - понятия малых величин, сначала в матанализе (асимптотическое поведение в нуле, разложение в ряд Тейлора), а потом и в физике. Плюс интуитивные представления о порядках величин, и аналогичные общеизвестные истины, что "разница в 100 раз - это много, в 1000 раз - очень много". В эксперименте, идут понятия о факторах и вкладах. Это сшивается с теоретическими малыми величинами, в том смысле, что если величина малая (в аналитическом смысле), то её вклад обычно тоже мал (численно), поскольку в физике практически всегда коэффициенты имеют порядок единицы (в численном смысле).

mishafromusa в сообщении #879515 писал(а):

Согласно этой логике вообще никого ничему учить не надо, зачем детей травмировать зря этой бессмысленной ерундой? Это Ваш взгляд на математику, чисто потребительский.

Итак, вы не понимаете, зачем учить математике нематематиков. Вы думаете только об одном - как сделать из них математиков.

mishafromusa в сообщении #879515 писал(а):

Есть разные степени строгости, такой чёрно-белый подход совершенно не годится.

Есть разные степени строгости, но вы сами в ваших предложениях говорите только о максимальной.

mishafromusa в сообщении #879593 писал(а):

"If all you have is a hammer, everything looks like a nail" -- Abraham H. Maslow
Если у вас есть только молоток, то вам везде мерещатся гвозди.

Это очень хорошо подходит к вам (и к некоторым вашим оппонентам).

А я как раз никак не подпадаю.

Видна только ваша личная неприязнь к пределам, неизвестного происхождения :-) Странно в ней то, что эта неприязнь - ровно к одной детали в сети взаимосвязанных понятий.

mishafromusa в сообщении #879630 писал(а):

"Дело -- продолжал Зельдович -- просто в том, что находить интересующие нас отношения конечных приращений трудно, поэтому и придуманы приближенные асимптотические формулы для них. Эти-то приближенные формулы математики и называют своими пределами и математическими производными. В любом реальном применении теории следует учитывать, меньше чего не следует делать приращения, чтобы результаты теории соответствовали эксперименту."

Хорошая цитата, но цитаты у нас принято снабжать ссылками на источники.

Кроме того, эта цитата ровно противоположна тому, что предлагаете вы :-)

[robot80]

Цитата:

А с компьютером и калькулятором только приблизительно?

Если используется калькулятор или численный (не символьный) мат пакет, то, как мне кажется, приближённо, поскольку вместо произвольной бесконечно малой последовательности используется её конкретная реализация.
Например $\underset {x \to 2} {\lim} x^2 = \underset {n \to +\infty} {\lim} (2+\alpha_n)^2= \underset {n \to +\infty} {\lim} (4+4 \cdot \alpha_n+\alpha_n^2) =4$
Если я попробую численно перейти от функции к последовательности функциональных значений, мне во-первых потребуется знать конкретный вид бесконечно малой последовательности $\alpha_n$, а во-вторых нужно будет брать конкретное значение числа $n=10; n=100; n=10000$. И смотреть к какому числу будет приближаться получившаяся последовательность.