Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #878489 писал(а):

Так что я не очень понял, к чему это замечание.

Замечание к тому, что для многих конкретные неравенства легче, чем абстракция предела, и поработав с конкретными оценками, эту абстракцию понять легче. Что здесь непонятного?

-- 22.06.2014, 21:17 --

Nemiroff в сообщении #878490 писал(а):

В этой непомерно огромной теме где-нибудь были понятные разъяснения?

Кто ищет, тот всегда найдёт

[g______d]

mishafromusa в сообщении #878491 писал(а):

Замечание к тому, что для многих конкретные неравенства легче, чем абстракция предела, и поработав с конкретными оценками, эту абстракцию понять легче. Что здесь непонятного?

Непонятно словосочетание "для многих". Я пытаюсь представить себе разные категории людей, которые изучают математику; я сам принадлежал к разным категориям, и преподавал у разных категорий. Одним лучше всего подходит классический анализ с введением пределов как можно раньше (пределы последовательностей рациональных чисел+вещественные числа; кстати, предел функции можно определить секвенциально без всякого ущерба). Другим лучше всего подходит Calculus с "физической" аргументацией пределов, производных и интегралов.

Я так и не смог себе представить категорию людей, которым лучше всего подойдёт Ваш подход. Разве что упомянутые мной матшкольники, которым по каким-то причинам принципиально не хочется давать классический анализ.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #878492 писал(а):

Я так и не смог себе представить категорию людей, которым лучше всего подойдёт Ваш подход.

Этот вопрос невозможно решить умозрительно, нужно попробовать и посмотреть что получится. Я думаю, что некоторым, кто учит Calculus, включая школьников, это бы подошло лучше.

-- 22.06.2014, 21:58 --

Nemiroff в сообщении #878490 писал(а):

Зачем упрощать преподавание матанализа нематематикам?

Может они что-нибудь поймут...

[g______d]

mishafromusa в сообщении #878494 писал(а):

Этот вопрос невозможно решить умозрительно, нужно попробовать и посмотреть что получится.

Понятно, что если пробовать, имея негативные ожидания, то результат негативным и будет. А позитивных ожиданий у меня пока нет.

[Nemiroff]

mishafromusa в сообщении #878494 писал(а):

Может они что-нибудь поймут...

Если "они" ничего не понимают, может, "им" преподавателя сменить? Или "они" это такая огроменная выборка ничего не понимающих? Ну то бишь, сколько нематематиков ничего не понимают в преподаваемом матанализе? 100%? 103%?

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #878491 писал(а):

Кто ищет, тот всегда найдёт

Прочёл первую страницу. Прочёл из её второго сообщения темы. Забавно со стороны уже по свершившимся событиям наблюдать, как ЗУ дружненько теряют всяческую логику повествования. В этой теме тоже так? А то как-то не хочется влезать. В "об использовании математических понятий в физике" я хотя бы понимал всё сказанное и суть спора.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #878490 писал(а):

Зачем упрощать преподавание матанализа нематематикам? В этой непомерно огромной теме где-нибудь были понятные разъяснения?

Хорошо бы пользоваться понятием производной в нематематике не тогда, когда её со всеми танцами введут в матанализе, а тогда, когда она реально нужна. Это с опережением года на три. Это ещё в школьном курсе. (Понятие мгновенной скорости нужно в 9 классе, а производная даётся в 11.)

То, что излагает mishafromusa, к школьному курсу никакого отношения не имеет, это всё можно было бы давать на 1 курсе вуза, но там и так дают пределы и производную, вполне быстро (за 1-2 семестра), и реального выигрыша не получается).

[Deggial]

mishafromusa в сообщении #878488 писал(а):

Зубелевич

mishafromusa, замечание за искажение ника.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #878496 писал(а):

Забавно со стороны уже по свершившимся событиям наблюдать, как ЗУ дружненько теряют всяческую логику повествования.

Да, спасибо, я тоже перечитал выступление Рохлина, с которого всё начиналось, и тоже порадовался, насколько далеко всё ушло.

1. Лично Рохлину не понравилось понятие пределов. mishafromusa возвёл это в абсолют. Оказалось плохо, но он этого не видит. Пределы оказались органично встроены во всю систему понятий математики: касательные, объёмы, асимптотики, непрерывность.

2. Рохлин пределами только иллюстрировал большую проблему. Проблема состоит в переносе акцента с сути на обоснования и доказательства - что не всегда нужно даже школьникам-математикам, и уж тем более не главное для школьников и студентов-нематематиков.

При этом, не надо делать ошибки, и не надо для нематематиков снова выбрасывать суть, заменяя её на этот раз уже техникой вычислений и бессмысленными алгоритмами.

3. Совершенно неясно, о какой целевой аудитории речь. Самое главное: школьники или студенты? Рохлин говорил о школьниках. mishafromusa о студентах. При этом теряется весь смысл и пафоса, и предложений.

Мне кажется, что:
- понятия матанализа можно было бы дать "нестрого, без настоящих определений" в 7-9 классах: по крайней мере, непрерывность, касательную, площадь под графиком, возрастание и экстремум. Это вполне согласуется со школьным курсом геометрии: прямые и отрезки в 7 классе, окружности и дуги - в 8, касательные к окружности - в 8, площадь - в 8, площадь круга - в 9. [Атанасян]
- такого "нестрогого" введения понятий было бы совершенно достаточно для физики (мгновенная скорость вводится без определения в 9 классе, и широко используется, а определение даётся только в 10 классе).
- "патологических" случаев при этом можно не опасаться, например, в физике не встречается разрывных и недифференцируемых функций до вуза. Точнее, разрывные функции оказываются упрощениями от непрерывных, как например, скорость машины, которая первый участок пути ехала с одной скоростью, а второй участок пути - с другой скоростью.

- понятие предела вполне по силам в 10-11 классе. Тем более оно будет не страшно, если к этому моменту школьники будут уже 2-3 года как знакомы с понятиями непрерывности, касательной, асимптоты (в геометрическом смысле, как у гиперболы $x^{-k}$ - её дают в 9 классе [Мордкович]).

- строгое построение курса математики, со строгими определениями, доказательствами, традиционно начинается не раньше вуза. Школьникам можно давать примеры строгих теорий, но только факультативно, как иллюстрацию такой возможности, для удовлетворения любопытства, и не на оценку. Школьники ещё не определились с профессией и специальностью, даже матшкольники. Студенты - другое дело. Причём надо иметь в виду, что матшкольников - намного больше в процентном отношении, чем студентов-математиков, и далеко не из каждого ребёнка вообще надо растить профессионального математика, натаскивая на дотошную строгость.

- (щас пришло в голову) Точно так же, не раньше вуза стоит начинать и натаскивание на стандартные техники вычислений. Прежде всего, это касается производных и интегралов. Логика аналогичная: не все школьники пойдут в физики и технари, которым эта техника необходима (хотя доля технарей на порядки больше доли будущих математиков). Вообще говоря, это же относится и к другим секторам математических задач: тригонометрические уравнения, степенные и логарифмические уравнения, алгебраические уравнения. Они, действительно, вырождаются из иллюстраций и приложений базовых навыков в искусственно раздутые бессмысленные тестовые навыки. Впрочем, это уже отдельный разговор.

[mihailm]

Munin в сообщении #878504 писал(а):

...а производная даётся в 11.)...

Munin традиционно "силен" в школьной математике. В десятом.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #878511 писал(а):

При этом, не надо делать ошибки, и не надо для нематематиков снова выбрасывать суть, заменяя её на этот раз уже техникой вычислений и бессмысленными алгоритмами.

Я не осознаю, где тут "шашечки", а где "ехать". Ну с техникой вычисления примерно понятно — если учить технике, то "уравнение Риккати в случаях бла-бла требует замены кукареку", а какая может быть суть у нематематиков?
Ну вот непрерывность. Если начеркать можно без отрыва — то оно. Если вообще начеркать нельзя никак, то мы это пальцем прикроем и скажем, что это вообще непристойная функция.
Ну или если там маленько сдвинуть, то тут тоже вроде не сильно скакнёт. А если сильно — то уж всяко дело никуда не годится.
Или какая суть нужна?

А то читаю тему, тут резко гёльдеровость на подошву налипла, я как-то и застрял.

[Munin]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #878512 писал(а):

Munin традиционно "силен" в школьной математике. В десятом.

Где как. Разброс между учебниками довольно велик. Стандартами распределение материала по годам не фиксируется, есть только два дедлайна: к концу 9 класса ученики должны знать одно, к концу 11 - другое.

Хорошо, если где-то в 10. Я совершенно не против.

Nemiroff в сообщении #878517 писал(а):

Я не осознаю, где тут "шашечки", а где "ехать".

В общем, здесь и нет чёткого разделения на "шашечки" и "ехать". Дело в том, что студенту-математику "ехать" - это одно, студенту-нематематику "ехать" - это другое (а то, что было нужно студенту-математику, для нематематика "шашечки"). Школьнику и то и другое "шашечки", и по сути пока не нужно. Максимум, ему это может пригодиться для будущей учёбы в вузе. А может и не пригодиться - перед ним много дорог. Зачем матан будущим журналистам, например? :-)

Nemiroff в сообщении #878517 писал(а):

Ну с техникой вычисления примерно понятно — если учить технике, то "уравнение Риккати в случаях бла-бла требует замены кукареку", а какая может быть суть у нематематиков?

Я представляю себе "суть" для нематематиков как некое представление о понятии, которое позволяет:
- сопоставлять это понятие в математической модели с некоторой реальной ситуацией, переходить от реальности к наличию или отсутствию этого понятия;
- делать выводы на уровне математической модели, применять или не применять факты, теоремы, соотношения;
- сопоставлять понятие с реальностью в обратную сторону: на основании математического понятия делать какие-то выводы о реальности.

Например, меня устроит, если школьник скажет:
- функция "температура воздуха от времени" непрерывна, потому что мы в любой момент времени можем измерить температуру воздуха градусником, и свойства воздуха не могут измениться мгновенно, он должен как-то пройти промежуточные состояния;
- функция "плотность вещества от точки в пространстве" не непрерывна, потому что бывают границы тел, на которых плотность по одну сторону одна, а по другую - другая (плотность воздуха, или нуль при откачанном воздухе).

Суть здесь не в том, чтобы дать "единственно правильный ответ" (очевидно, что здесь его и не может быть), а в том, чтобы дать какой-то определённый ответ, и обосновать его. (Толковый школьник может дать несколько ответов, и обосновать их.)

Канонический пример с производной:
- движение мы изображаем графиком "координата от времени". Этот график - математическая модель. Реальное движение мы можем измерить приборами, и график пройдёт по точкам, измеренным приборами, с какой-то погрешностью.
- к графику можно провести касательную. Тангенс угла наклона касательной назовём скоростью $v=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\Delta s/\Delta t$;
- зная, что в математической модели скорость - это производная, сможем найти кучу фактов о скорости: например, расстояние - площадь под графиком скорости; например, формулы равноускоренного движения, движения по окружности, и вообще бла-бла-бла;
- возвращаясь обратно к реальности, замечаем, что в реальности у нас никакого графика нет, а смысл скорости мы можем описать только как $\Delta s\approx v\,\Delta t$ при достаточно малых $\Delta t$ - при таких, за которые $v\approx\mathrm{const}.$ При этом, относительная погрешность наших $\Delta s$ и $\Delta t$ может быть велика, но мы считаем, что это не из-за непригодности понятия скорости, а из-за сложностей измерения малых величин. О непригодности понятия скорости мы начинаем говорить только на атомном и квантовом уровнях - когда обнаруживаем физические проблемы, препятствующие сопоставлению с физикой данной математической модели (которая называется классическая механика).

(См. Сивухин. Общий курс физики. Т. 1. Механика. § 6. О смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам. Причём желательно старое издание: post878499.html#p878499 )

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #878472 писал(а):

Как все.

все через предел вводят

[ex-math]

g______d в сообщении #878492 писал(а):

Я так и не смог себе представить категорию людей, которым лучше всего подойдёт Ваш подход.

Из студентов может подойти разве что экономистам.

[Munin]

(Оффтоп)

Я уже читаю название этой набившей оскомину темы как «Как упростить преподавание психоанализа математикам?»...

[robot80]

А вот интересно узнать: кто-нибудь из участников дискуссии пробовал применить ту или иную упрощающую методику на практике и что из этого вышло? Или весь вышеприведённый разговор - это просто слова и пожелания?
-------------------------------------------------------
Что касается меня, то я попробовал отказаться от использования определения предела функции по Коши в пользу определения предела по Гейне. Предполагалось, что будет более обоснованной цепочка: последовательность и её предел; функция одного переменного и её предел, функция двух переменных и её предел. Кроме того, хотелось, что пределы были именно пределами, а не эквивалентными алгебраическими преобразованиями или результатом использования "волшебных замечательных пределов". Что получилось на практике (коротко). Плюсы. Превращение функции действительного переменного в функцию натурального переменного удобно только в случае дробно-рациональных функций. Хорошо получается объяснить односторонние пределы, непрерывность функции, точки разрыва, асимптоты. Минусы. Пределы более сложных функций (с тригонометрией, логарифмами и прочим) оказались через последовательности не вычислимыми (без компьютера и калькулятора). Выводы. Применение эквивалентных преобразований и замечательных пределов оказываются более результативными по времени. Поэтому я придерживаюсь такой схемы изложения: последовательности, предел последовательности, бесконечно малые последовательности, функция одного действительного переменного, предел по Гейне, примеры вычисления рациональных и дробно-разнонациональных функций, односторонние пределы, непрерывность, классификация разрывов, асимптоты, разные виды неопределённостей, способы их раскрытия, замечательные пределы и их применение.