2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 04:13 


12/02/14
808
g______d в сообщении #878489 писал(а):
Так что я не очень понял, к чему это замечание.
Замечание к тому, что для многих конкретные неравенства легче, чем абстракция предела, и поработав с конкретными оценками, эту абстракцию понять легче. Что здесь непонятного?

-- 22.06.2014, 21:17 --

Nemiroff в сообщении #878490 писал(а):
В этой непомерно огромной теме где-нибудь были понятные разъяснения?
Кто ищет, тот всегда найдёт :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 04:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #878491 писал(а):
Замечание к тому, что для многих конкретные неравенства легче, чем абстракция предела, и поработав с конкретными оценками, эту абстракцию понять легче. Что здесь непонятного?


Непонятно словосочетание "для многих". Я пытаюсь представить себе разные категории людей, которые изучают математику; я сам принадлежал к разным категориям, и преподавал у разных категорий. Одним лучше всего подходит классический анализ с введением пределов как можно раньше (пределы последовательностей рациональных чисел+вещественные числа; кстати, предел функции можно определить секвенциально без всякого ущерба). Другим лучше всего подходит Calculus с "физической" аргументацией пределов, производных и интегралов.

Я так и не смог себе представить категорию людей, которым лучше всего подойдёт Ваш подход. Разве что упомянутые мной матшкольники, которым по каким-то причинам принципиально не хочется давать классический анализ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 04:49 


12/02/14
808
g______d в сообщении #878492 писал(а):
Я так и не смог себе представить категорию людей, которым лучше всего подойдёт Ваш подход.
Этот вопрос невозможно решить умозрительно, нужно попробовать и посмотреть что получится. Я думаю, что некоторым, кто учит Calculus, включая школьников, это бы подошло лучше.

-- 22.06.2014, 21:58 --

Nemiroff в сообщении #878490 писал(а):
Зачем упрощать преподавание матанализа нематематикам?
Может они что-нибудь поймут...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 05:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #878494 писал(а):
Этот вопрос невозможно решить умозрительно, нужно попробовать и посмотреть что получится.


Понятно, что если пробовать, имея негативные ожидания, то результат негативным и будет. А позитивных ожиданий у меня пока нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 05:35 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
mishafromusa в сообщении #878494 писал(а):
Может они что-нибудь поймут...
Если "они" ничего не понимают, может, "им" преподавателя сменить? Или "они" это такая огроменная выборка ничего не понимающих? Ну то бишь, сколько нематематиков ничего не понимают в преподаваемом матанализе? 100%? 103%?

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #878491 писал(а):
Кто ищет, тот всегда найдёт
Прочёл первую страницу. Прочёл из её второго сообщения темы. Забавно со стороны уже по свершившимся событиям наблюдать, как ЗУ дружненько теряют всяческую логику повествования. В этой теме тоже так? А то как-то не хочется влезать. В "об использовании математических понятий в физике" я хотя бы понимал всё сказанное и суть спора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 06:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Nemiroff в сообщении #878490 писал(а):
Зачем упрощать преподавание матанализа нематематикам? В этой непомерно огромной теме где-нибудь были понятные разъяснения?

Хорошо бы пользоваться понятием производной в нематематике не тогда, когда её со всеми танцами введут в матанализе, а тогда, когда она реально нужна. Это с опережением года на три. Это ещё в школьном курсе. (Понятие мгновенной скорости нужно в 9 классе, а производная даётся в 11.)

То, что излагает mishafromusa, к школьному курсу никакого отношения не имеет, это всё можно было бы давать на 1 курсе вуза, но там и так дают пределы и производную, вполне быстро (за 1-2 семестра), и реального выигрыша не получается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 06:45 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 ! 
mishafromusa в сообщении #878488 писал(а):
Зубелевич
mishafromusa, замечание за искажение ника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 07:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Nemiroff в сообщении #878496 писал(а):
Забавно со стороны уже по свершившимся событиям наблюдать, как ЗУ дружненько теряют всяческую логику повествования.

Да, спасибо, я тоже перечитал выступление Рохлина, с которого всё начиналось, и тоже порадовался, насколько далеко всё ушло.

1. Лично Рохлину не понравилось понятие пределов. mishafromusa возвёл это в абсолют. Оказалось плохо, но он этого не видит. Пределы оказались органично встроены во всю систему понятий математики: касательные, объёмы, асимптотики, непрерывность.

2. Рохлин пределами только иллюстрировал большую проблему. Проблема состоит в переносе акцента с сути на обоснования и доказательства - что не всегда нужно даже школьникам-математикам, и уж тем более не главное для школьников и студентов-нематематиков.

При этом, не надо делать ошибки, и не надо для нематематиков снова выбрасывать суть, заменяя её на этот раз уже техникой вычислений и бессмысленными алгоритмами.

3. Совершенно неясно, о какой целевой аудитории речь. Самое главное: школьники или студенты? Рохлин говорил о школьниках. mishafromusa о студентах. При этом теряется весь смысл и пафоса, и предложений.

Мне кажется, что:
- понятия матанализа можно было бы дать "нестрого, без настоящих определений" в 7-9 классах: по крайней мере, непрерывность, касательную, площадь под графиком, возрастание и экстремум. Это вполне согласуется со школьным курсом геометрии: прямые и отрезки в 7 классе, окружности и дуги - в 8, касательные к окружности - в 8, площадь - в 8, площадь круга - в 9. [Атанасян]
- такого "нестрогого" введения понятий было бы совершенно достаточно для физики (мгновенная скорость вводится без определения в 9 классе, и широко используется, а определение даётся только в 10 классе).
- "патологических" случаев при этом можно не опасаться, например, в физике не встречается разрывных и недифференцируемых функций до вуза. Точнее, разрывные функции оказываются упрощениями от непрерывных, как например, скорость машины, которая первый участок пути ехала с одной скоростью, а второй участок пути - с другой скоростью.

- понятие предела вполне по силам в 10-11 классе. Тем более оно будет не страшно, если к этому моменту школьники будут уже 2-3 года как знакомы с понятиями непрерывности, касательной, асимптоты (в геометрическом смысле, как у гиперболы $x^{-k}$ - её дают в 9 классе [Мордкович]).

- строгое построение курса математики, со строгими определениями, доказательствами, традиционно начинается не раньше вуза. Школьникам можно давать примеры строгих теорий, но только факультативно, как иллюстрацию такой возможности, для удовлетворения любопытства, и не на оценку. Школьники ещё не определились с профессией и специальностью, даже матшкольники. Студенты - другое дело. Причём надо иметь в виду, что матшкольников - намного больше в процентном отношении, чем студентов-математиков, и далеко не из каждого ребёнка вообще надо растить профессионального математика, натаскивая на дотошную строгость.

- (щас пришло в голову) Точно так же, не раньше вуза стоит начинать и натаскивание на стандартные техники вычислений. Прежде всего, это касается производных и интегралов. Логика аналогичная: не все школьники пойдут в физики и технари, которым эта техника необходима (хотя доля технарей на порядки больше доли будущих математиков). Вообще говоря, это же относится и к другим секторам математических задач: тригонометрические уравнения, степенные и логарифмические уравнения, алгебраические уравнения. Они, действительно, вырождаются из иллюстраций и приложений базовых навыков в искусственно раздутые бессмысленные тестовые навыки. Впрочем, это уже отдельный разговор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 07:28 


19/05/10

3940
Россия
Munin в сообщении #878504 писал(а):
...а производная даётся в 11.)...

Munin традиционно "силен" в школьной математике. В десятом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 07:43 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Munin в сообщении #878511 писал(а):
При этом, не надо делать ошибки, и не надо для нематематиков снова выбрасывать суть, заменяя её на этот раз уже техникой вычислений и бессмысленными алгоритмами.
Я не осознаю, где тут "шашечки", а где "ехать". Ну с техникой вычисления примерно понятно — если учить технике, то "уравнение Риккати в случаях бла-бла требует замены кукареку", а какая может быть суть у нематематиков?
Ну вот непрерывность. Если начеркать можно без отрыва — то оно. Если вообще начеркать нельзя никак, то мы это пальцем прикроем и скажем, что это вообще непристойная функция.
Ну или если там маленько сдвинуть, то тут тоже вроде не сильно скакнёт. А если сильно — то уж всяко дело никуда не годится.
Или какая суть нужна?

А то читаю тему, тут резко гёльдеровость на подошву налипла, я как-то и застрял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 08:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #878512 писал(а):
Munin традиционно "силен" в школьной математике. В десятом.

Где как. Разброс между учебниками довольно велик. Стандартами распределение материала по годам не фиксируется, есть только два дедлайна: к концу 9 класса ученики должны знать одно, к концу 11 - другое.

Хорошо, если где-то в 10. Я совершенно не против.


Nemiroff в сообщении #878517 писал(а):
Я не осознаю, где тут "шашечки", а где "ехать".

В общем, здесь и нет чёткого разделения на "шашечки" и "ехать". Дело в том, что студенту-математику "ехать" - это одно, студенту-нематематику "ехать" - это другое (а то, что было нужно студенту-математику, для нематематика "шашечки"). Школьнику и то и другое "шашечки", и по сути пока не нужно. Максимум, ему это может пригодиться для будущей учёбы в вузе. А может и не пригодиться - перед ним много дорог. Зачем матан будущим журналистам, например? :-)

Nemiroff в сообщении #878517 писал(а):
Ну с техникой вычисления примерно понятно — если учить технике, то "уравнение Риккати в случаях бла-бла требует замены кукареку", а какая может быть суть у нематематиков?

Я представляю себе "суть" для нематематиков как некое представление о понятии, которое позволяет:
- сопоставлять это понятие в математической модели с некоторой реальной ситуацией, переходить от реальности к наличию или отсутствию этого понятия;
- делать выводы на уровне математической модели, применять или не применять факты, теоремы, соотношения;
- сопоставлять понятие с реальностью в обратную сторону: на основании математического понятия делать какие-то выводы о реальности.

Например, меня устроит, если школьник скажет:
- функция "температура воздуха от времени" непрерывна, потому что мы в любой момент времени можем измерить температуру воздуха градусником, и свойства воздуха не могут измениться мгновенно, он должен как-то пройти промежуточные состояния;
- функция "плотность вещества от точки в пространстве" не непрерывна, потому что бывают границы тел, на которых плотность по одну сторону одна, а по другую - другая (плотность воздуха, или нуль при откачанном воздухе).

Суть здесь не в том, чтобы дать "единственно правильный ответ" (очевидно, что здесь его и не может быть), а в том, чтобы дать какой-то определённый ответ, и обосновать его. (Толковый школьник может дать несколько ответов, и обосновать их.)

Канонический пример с производной:
- движение мы изображаем графиком "координата от времени". Этот график - математическая модель. Реальное движение мы можем измерить приборами, и график пройдёт по точкам, измеренным приборами, с какой-то погрешностью.
- к графику можно провести касательную. Тангенс угла наклона касательной назовём скоростью $v=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\Delta s/\Delta t$;
- зная, что в математической модели скорость - это производная, сможем найти кучу фактов о скорости: например, расстояние - площадь под графиком скорости; например, формулы равноускоренного движения, движения по окружности, и вообще бла-бла-бла;
- возвращаясь обратно к реальности, замечаем, что в реальности у нас никакого графика нет, а смысл скорости мы можем описать только как $\Delta s\approx v\,\Delta t$ при достаточно малых $\Delta t$ - при таких, за которые $v\approx\mathrm{const}.$ При этом, относительная погрешность наших $\Delta s$ и $\Delta t$ может быть велика, но мы считаем, что это не из-за непригодности понятия скорости, а из-за сложностей измерения малых величин. О непригодности понятия скорости мы начинаем говорить только на атомном и квантовом уровнях - когда обнаруживаем физические проблемы, препятствующие сопоставлению с физикой данной математической модели (которая называется классическая механика).

(См. Сивухин. Общий курс физики. Т. 1. Механика. § 6. О смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам. Причём желательно старое издание: post878499.html#p878499 )

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 08:30 


10/02/11
6786
mishafromusa в сообщении #878472 писал(а):
Как все.

все через предел вводят

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 11:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
g______d в сообщении #878492 писал(а):
Я так и не смог себе представить категорию людей, которым лучше всего подойдёт Ваш подход.
Из студентов может подойти разве что экономистам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Я уже читаю название этой набившей оскомину темы как «Как упростить преподавание психоанализа математикам?»...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение23.06.2014, 18:02 


06/08/13
151
А вот интересно узнать: кто-нибудь из участников дискуссии пробовал применить ту или иную упрощающую методику на практике и что из этого вышло? Или весь вышеприведённый разговор - это просто слова и пожелания?
-------------------------------------------------------
Что касается меня, то я попробовал отказаться от использования определения предела функции по Коши в пользу определения предела по Гейне. Предполагалось, что будет более обоснованной цепочка: последовательность и её предел; функция одного переменного и её предел, функция двух переменных и её предел. Кроме того, хотелось, что пределы были именно пределами, а не эквивалентными алгебраическими преобразованиями или результатом использования "волшебных замечательных пределов". Что получилось на практике (коротко). Плюсы. Превращение функции действительного переменного в функцию натурального переменного удобно только в случае дробно-рациональных функций. Хорошо получается объяснить односторонние пределы, непрерывность функции, точки разрыва, асимптоты. Минусы. Пределы более сложных функций (с тригонометрией, логарифмами и прочим) оказались через последовательности не вычислимыми (без компьютера и калькулятора). Выводы. Применение эквивалентных преобразований и замечательных пределов оказываются более результативными по времени. Поэтому я придерживаюсь такой схемы изложения: последовательности, предел последовательности, бесконечно малые последовательности, функция одного действительного переменного, предел по Гейне, примеры вычисления рациональных и дробно-разнонациональных функций, односторонние пределы, непрерывность, классификация разрывов, асимптоты, разные виды неопределённостей, способы их раскрытия, замечательные пределы и их применение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group