Ряды

[Otta]

champion12 в сообщении #878697 писал(а):

почему там множитель перед знаком суммы $\frac{1}{n}$, а не $\frac{1}{k}$? Я думал, что там должно быть $k$ и его нельзя вытаскивать за знак суммы.

Смотря где - там. Но там действительно то ли ошибка, то ли опечатка. Местами. Проделайте эту работу аккуратно, подставьте сами.

[champion12]

Эта опечатка дает большой задел!!! Я вот для этого ряда такую же опечатку могу сделать, тогда можно будет быстро построить оценку снизу. $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1ke^{-kx}$

Пусть $n=m$, $p=n$, $x_o=\frac{1}{n}$.

$\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}u_k(x_o)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}e^{-1}=e^{-1}=\varepsilon_0$

Но без "опечатки" не очевидно -- куда деть тот $n$, что в знаменателе...

[Otta]

Вы неаккуратно посчитали $u_k(x_0)$. Не обязательно должно быть очевидно, подставьте. Смотрите, что делается в этом примере дальше, из каких соображений строятся оценки. Потому что в учебных примерах они чаще всего именно из этих соображений и строятся.

[champion12]

Там почти везде берут $x_0=\dfrac{1}{n}$ и при этом выражение под знаком суммы перестает зависеть от $n$, потому легко выписывается оценка.

В нашем случае $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1k e^{-kx}$, если взять $x_0=-\frac{1}{k}\ln(k)$, получится $\frac 1{k}e^{-kx}=1$. Далее условие $(9)$. Только $x_0$ не попадает в нужный интервал.

[Otta]

champion12 в сообщении #878734 писал(а):

если взять $x_0=-\frac{1}{k}\ln(k)$, получится $\frac 1{k}e^{-kx}=1$.

Бога ради, пишите нужную сумму и подставляйте нужное. Вы не понимаете, что делаете.

[champion12]

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1ne^{-nx}$

$x_o=\dfrac{1}{n}$.

$\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}u_k(x_0)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}e^{-\frac{k}{n}}$

Это верно?

[Otta]

Дальше.

[champion12]

$$\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}e^{-\frac{k}{n}}\geqslant \displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}e^{-\frac{2n}{n}}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}e^{-2}=\dfrac{e^{-2}n}{2n}=\dfrac{e^{-2}}{2}$$

[Otta]

Первое неравенство неверно. Внимательно в него вглядитесь.

А, все, теперь верно. Вопросы?

[champion12]

Otta в сообщении #878771 писал(а):

Первое неравенство неверно. Внимательно в него вглядитесь.

А, все, теперь верно. Вопросы?

С этим рядом понятно, что-то я долго тупил, спасибо. Сейчас попробую тот косинус прикрутить)

-- 23.06.2014, 19:01 --

$x_o=\dfrac{1}{n}$, $n=p$

$\left|\displastyle\sum\limits_{i=2n}^{n+p}e^{-\frac{i}{n}}\dfrac{\cos(\frac{i}{n})}{i}\right|\geqslant \left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{2n}e^{-2}\dfrac{\cos(\frac{i}{n})}{2n}\right|=\dfrac{e^{-2}}{2n}\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{2n}\cos(\frac{i}{n})\right|$

Пока что дальше не очевидно

[Otta]

Как Вы так оцениваете странно? У Вас произведение функций с разным характером монотонности, а Вы считаете, что оно пренепременно уменьшится, если взять минимум одного множителя.

Кстати. Скажу Вам по секрету, иногда написать $n=p$ и $p=n$ -- это две большие разницы.

[champion12]

Otta в сообщении #878805 писал(а):

Как Вы так оцениваете странно? У Вас произведение функций с разным характером монотонности, а Вы считаете, что оно пренепременно уменьшится, если взять минимум одного множителя.

Кстати. Скажу Вам по секрету, иногда написать $n=p$ и $p=n$ -- это две большие разницы.

Точно, был не прав. Функция $y=|e^{-x}cos(x)|$ принимает наименьшее значение при $x_0=-\dfrac{3\pi}{4}$ и $f(x_0)=\dfrac{e^{-\frac{3\pi}{4}}}{\sqrt2}}$

Может этим воспользоваться?

[Otta]

И что Вы с этим собираетесь делать? Вам всего-то нужно удачно выбрать точку. И понять, как оценить.

[champion12]

Это я уже давно понял, но оценку не получается подобрать, в в задаче без косинуса было попроще. А тут примерно из каких соображений она строится, что в этом случае лучше использовать, подскажите, пожалуйста?

[Otta]

Из тех же в точности. Выписывайте в строчечку все слагаемые и думайте, чем их можно оценить снизу без риска. Если ничем - выбирайте другую точку, так чтобы было можно.