2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 17:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
champion12 в сообщении #878697 писал(а):
почему там множитель перед знаком суммы $\frac{1}{n}$, а не $\frac{1}{k}$? Я думал, что там должно быть $k$ и его нельзя вытаскивать за знак суммы.

Смотря где - там. :-) Но там действительно то ли ошибка, то ли опечатка. Местами. Проделайте эту работу аккуратно, подставьте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 17:46 


23/09/12
180
Эта опечатка дает большой задел!!! Я вот для этого ряда такую же опечатку могу сделать, тогда можно будет быстро построить оценку снизу. $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1ke^{-kx}$

Пусть $n=m$, $p=n$, $x_o=\frac{1}{n}$.

$\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}u_k(x_o)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}e^{-1}=e^{-1}=\varepsilon_0$

Но без "опечатки" не очевидно -- куда деть тот $n$, что в знаменателе...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 17:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Вы неаккуратно посчитали $u_k(x_0)$. Не обязательно должно быть очевидно, подставьте. Смотрите, что делается в этом примере дальше, из каких соображений строятся оценки. Потому что в учебных примерах они чаще всего именно из этих соображений и строятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 17:52 


23/09/12
180
Там почти везде берут $x_0=\dfrac{1}{n}$ и при этом выражение под знаком суммы перестает зависеть от $n$, потому легко выписывается оценка.

В нашем случае $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1k e^{-kx}$, если взять $x_0=-\frac{1}{k}\ln(k)$, получится $\frac 1{k}e^{-kx}=1$. Далее условие $(9)$. Только $x_0$ не попадает в нужный интервал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 18:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
champion12 в сообщении #878734 писал(а):
если взять $x_0=-\frac{1}{k}\ln(k)$, получится $\frac 1{k}e^{-kx}=1$.

Бога ради, пишите нужную сумму и подставляйте нужное. Вы не понимаете, что делаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 18:35 


23/09/12
180
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1ne^{-nx}$

$x_o=\dfrac{1}{n}$.

$\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}u_k(x_0)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}e^{-\frac{k}{n}}$

Это верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 18:36 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 18:43 


23/09/12
180
$$\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}e^{-\frac{k}{n}}\geqslant \displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}e^{-\frac{2n}{n}}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}e^{-2}=\dfrac{e^{-2}n}{2n}=\dfrac{e^{-2}}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 18:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Первое неравенство неверно. Внимательно в него вглядитесь.

А, все, теперь верно. Вопросы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 18:50 


23/09/12
180
Otta в сообщении #878771 писал(а):
Первое неравенство неверно. Внимательно в него вглядитесь.

А, все, теперь верно. Вопросы?

С этим рядом понятно, что-то я долго тупил, спасибо. Сейчас попробую тот косинус прикрутить)

-- 23.06.2014, 19:01 --

$x_o=\dfrac{1}{n}$, $n=p$

$\left|\displastyle\sum\limits_{i=2n}^{n+p}e^{-\frac{i}{n}}\dfrac{\cos(\frac{i}{n})}{i}\right|\geqslant \left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{2n}e^{-2}\dfrac{\cos(\frac{i}{n})}{2n}\right|=\dfrac{e^{-2}}{2n}\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{2n}\cos(\frac{i}{n})\right|$

Пока что дальше не очевидно

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 19:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Как Вы так оцениваете странно? У Вас произведение функций с разным характером монотонности, а Вы считаете, что оно пренепременно уменьшится, если взять минимум одного множителя.

Кстати. Скажу Вам по секрету, иногда написать $n=p$ и $p=n$ -- это две большие разницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 19:32 


23/09/12
180
Otta в сообщении #878805 писал(а):
Как Вы так оцениваете странно? У Вас произведение функций с разным характером монотонности, а Вы считаете, что оно пренепременно уменьшится, если взять минимум одного множителя.

Кстати. Скажу Вам по секрету, иногда написать $n=p$ и $p=n$ -- это две большие разницы.


Точно, был не прав. Функция $y=|e^{-x}cos(x)|$ принимает наименьшее значение при $x_0=-\dfrac{3\pi}{4}$ и $f(x_0)=\dfrac{e^{-\frac{3\pi}{4}}}{\sqrt2}}$

Может этим воспользоваться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 19:34 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
И что Вы с этим собираетесь делать? Вам всего-то нужно удачно выбрать точку. И понять, как оценить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 21:26 


23/09/12
180
Это я уже давно понял, но оценку не получается подобрать, в в задаче без косинуса было попроще. А тут примерно из каких соображений она строится, что в этом случае лучше использовать, подскажите, пожалуйста?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение23.06.2014, 21:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Из тех же в точности. Выписывайте в строчечку все слагаемые и думайте, чем их можно оценить снизу без риска. Если ничем - выбирайте другую точку, так чтобы было можно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 105 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group