Ряды

[Otta]

В этом-то и проблемы. :(

[champion12]

Существует $x\in(0;\frac{\pi}{2})$ для которого найдется $\varepsilon>0$, для которого найдется $N=N(\varepsilon)$ такой что при любом $n>N$ и $p>0$ выполняется неравенство $\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}e^{-ix}\dfrac{\cos(ix)}{i}\right|\geqslant\varepsilon$

Вот так будет верно?

[Otta]

Нет. Книжку-то нашли?

[champion12]

Otta в сообщении #878522 писал(а):

Нет. Книжку-то нашли?

Да, там написано

Существует $\varepsilon_0>0$ такой что для любого $m\in\mathbb{N} $ найдется $n\ge m$, существует $p\in\mathbb{N}$ и существует $x\in E$ для которых выполняется неравенство $\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}e^{-ix}\dfrac{\cos(ix)}{i}\right|\geqslant\varepsilon$

[Otta]

А вот это правильно.

[champion12]

Otta в сообщении #878526 писал(а):

А вот это правильно.

Посмотрел примеры в Кудрявцеве, там только нашел задачи, где нужно доказывать равномерную сходимость, но не доказывать ее отсутствие.

[Otta]

Плохо смотрели.

[champion12]

Otta в сообщении #878582 писал(а):

Плохо смотрели.

Прошу прощения, действительно нашел. Там выбирается сначала $x_0=x(n)$, для которого выполнено условие, которое означает отсутствие равномерной сходимости. Но как выбрать этот $x_0$?

[Otta]

Там несколько примеров разобрано. Попробуйте выписать их все и попытаться вникнуть, из каких соображений это делается. Потому что кратко можно сказать только одно - так, чтобы строилась оценка нужной суммы константой снизу. Выбирается то, что удобнее.

[champion12]

Otta в сообщении #878588 писал(а):

Там несколько примеров разобрано. Попробуйте выписать их все и попытаться вникнуть, из каких соображений это делается. Потому что кратко можно сказать только одно - так, чтобы строилась оценка нужной суммы константой снизу. Выбирается то, что удобнее.

Спасибо, посмотрел 6 разобранных там примеров.
Очень мешает оценить снизу $n$ в знаменателе. Я попытался это $n$ уничтожить, выбрав $x$ соответствующим образом.

Если взять $x_n=\dfrac{1}{n}\cdot \ln\left(\dfrac{1}{n}\right)$, тогда $\dfrac{e^{-nx}cos(nx)}{n}=\cos \ln\left(\dfrac{1}{n}\right)}$

Но теперь оценить $\left|\cos \ln\left(\dfrac{1}{n}\right)}\right|$ снизу можно только нулем, а нам это вариант не подходит совсем.

[ИСН]

Когда что-то с косинусами сходится условно, то стандартный манёвр - $|\cos x|\ge\cos^2x={1\over2}(1+\cos2x)$

[Otta]

ИСН
Не надо это ему.

[champion12]

Все еще не получается получить оценку снизу, да и это, к сожалению, пока не ясно(

ewert в сообщении #878209 писал(а):

Попытайтесь подобрать такие константы $a<b$, чтобы при всех $n\in[\frac ax;\frac bx]$ числитель всей дроби был ограничен снизу одним и тем же положительным числом, не зависящим от икса. Затем оцените снизу соответствующий участок ряда и примените критерий Коши.

[Otta]

Давайте что попроще. Докажите, что ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1ke^{-kx}$ сходится неравномерно... ладно, хотя бы что не сходится равномерно на $(0,1)$.

Если этот пример разобран в задачнике, скажите, я напишу другой.

[champion12]

Otta в сообщении #878692 писал(а):

Давайте что попроще. Докажите, что ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1ke^{-kx}$ сходится неравномерно... ладно, хотя бы что не сходится равномерно на $(0,1)$.

Если этот пример разобран в задачнике, скажите, я напишу другой.

Не разобран, сейчас попробую!

-- 23.06.2014, 17:23 --

Там есть похожая задача, в которой не ясно -- почему там множитель перед знаком суммы $\frac{1}{n}$, а не $\frac{1}{k}$? Я думал, что там должно быть $k$ и его нельзя вытаскивать за знак суммы.



-- 23.06.2014, 17:24 --

Вот условие 8, про которое говорится.