Ряды

[champion12]

Здравствуйте! Есть 3 задачи, по которым возникли вопросы:

1) Найти область сходимости и равномерной сх-ти.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$

на $M=\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$

По признаку Дирихле:

а) частичные суммы $S_n(x)=\cos(nx)$ в совокупности ограничены.

б) Последовательность $\dfrac{e^{-nx}}{n}$ монотонна для каждого $x$ и равномерно стрем. к нулю.

$0\le \dfrac{e^{-nx}}{n}\le \dfrac{1}{n}$ (По трем милиционерам.)


2) Исследовать сходимость.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\prod_{k=1}^n\cos\dfrac{\pi}{\sqrt{k+4}}\right)$

Похоже, что общий член ряда стремиться к $1\ne 0$, потому ряд расходится. Верно?

3) Найти область сходимости и равномерной сх-ти.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x}{(1+nx)(1+nx+x)}$

a) $M=\left(\varepsilon;+\infty\right),;\;\;\varepsilon>0$
b) $M=\left(0;+\infty\right)$

$$S_k=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{x}{(1+nx)(1+nx+x)}\dfrac{x}{(1+nx)(1+nx+x)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{nx+1}-\dfrac{1}{(n+1)x+1}\right)=0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}$$

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}S_k=0,5$

А что тут еще можно сделать?

[Otta]

champion12 в сообщении #877596 писал(а):

а) частичные суммы $S_n(x)=\cos(nx)$ в совокупности ограничены.

Чем именно? Можете продемонстрировать?

champion12 в сообщении #877596 писал(а):

А что тут еще можно сделать?

Сделать нужные выводы об области сходимости. А равномерной сходимостью Вы пока не занимались.

champion12 в сообщении #877596 писал(а):

Похоже, что общий член ряда стремиться к $1\ne 0$, потому ряд расходится. Верно?

Не стремится.

[champion12]

Otta в сообщении #877597 писал(а):

champion12 в сообщении #877596 писал(а):

а) частичные суммы $S_n(x)=\cos(nx)$ в совокупности ограничены.

Чем именно? Можете продемонстрировать?

$S_n=\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos(nx)=\dfrac{\sin(nx/2)\cos((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$

-- 20.06.2014, 16:54 --

Otta в сообщении #877597 писал(а):

Сделать нужные выводы об области сходимости. А равномерной сходимостью Вы пока не занимались.

Ряд сходится, так как последовательность частичных сумм имеет предел $0,5$, правильно?
А как с равномерной сходимостью быть, можно по признаку Вейештрасса взять числовой ряд $\sum (0,5-\frac{1}{n^2})$, из его сходимости будет следовать сходимость нашего ряда на указанном множестве?

[Otta]

Это все здорово, а ограничена-то чем на Вашем промежутке? какая ограниченность там требуется?

[champion12]

Otta в сообщении #877597 писал(а):

Не стремится.

Спасибо, а как тут быть, можете подсказать идею?

-- 20.06.2014, 16:57 --

Otta в сообщении #877603 писал(а):

Это все здорово, а ограниченна-то чем на Вашем промежутке? какая ограниченность там требуется?

Равномерная ограниченность нужна. Да, что-то тогда не придумать...

[Otta]

champion12 в сообщении #877599 писал(а):

Ряд сходится, так как последовательность частичных сумм имеет предел $0,5$, правильно?

Не везде.

champion12 в сообщении #877599 писал(а):

А как с равномерной сходимостью быть, можно по признаку Вейештрасса взять числовой ряд $\sum (0,5-\frac{1}{n^2})$, из его сходимости будет следовать сходимость нашего ряда на указанном множестве?

Не понимаю, честно говоря, причем тут этот ряд и как Вы собираетесь выжимать из него признак Вейерштрасса. У Вас есть аж частичные суммы. Когда ряд сходится равномерно по определению?

Во втором Раабе попробуйте.

[champion12]

Otta в сообщении #877606 писал(а):

Во втором Раабе попробуйте.

Спасибо!

2)

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)= \displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left(\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{n+2}}\right)}-1\right)=\dfrac{\pi^2}{2}>1$

Таким образом, сходится.

Otta в сообщении #877606 писал(а):

У Вас есть аж частичные суммы. Когда ряд сходится равномерно по определению?

Когда сходится равномерно последовательность частичных сумм.

$S_k=0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}$. Нужно проверить -- будет ли эта последовательность сходится равномерно.

Для этого можно проверить условие условие:

$\displaystyle\sup_{x\in M}\mid {S_k}(x) - S(x)\mid\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

a) $M=\left(\varepsilon;+\infty\right),;\;\;\varepsilon>0$

$\displaystyle\sup_{x\in M} \left|0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}-0,5\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

$ \left|\dfrac{1}{(k+1)\varepsilon+1}\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

Условие действительно выполняется. Значит ряд сходится равномерно на этом множестве.

b) $M=\left(0;+\infty\right)$

$\displaystyle\sup_{x\in M} \left|0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}-0,5\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

$ \left|0,5-\dfrac{1}{(k+1)\cdot 0+1}-0,5\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}1\ne 0,~~ x\in M$

Значит на этом множестве ряд не схходится равномерно.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность $\ {S_k}(x)$ его частичных сумм сходится поточечно.

Функциональная последовательность $\ {u_k}(x)$ сходится поточечно к функции $\ {u}(x)$, если $\forall x\in E \;\;\;\exists\displaystyle\lim_{k \rightarrow \infty} \ {u_k}(x)=\ {u}(x)$.

a) $M=\left(\varepsilon;+\infty\right),;\;\;\varepsilon>0$

$\forall x\in M\displaystyle\lim_{k\to\infty}S_k(x)=0,5$

b) $M=\left(0;+\infty\right)$

$\forall x\in M\displaystyle\lim_{k\to\infty}S_k(x)=0,5$

Верно?

А как в первой задаче?

[Otta]

Верно. В первой сперва сходимость смотрите. Потом равномерную сходимость. То, что в крайней точке интервала (в нуле) сходимости заведомо не будет, плохой признак. Это значит, что нужно пробовать доказывать отсутствие равномерной сходимости. Как Вы это умеете делать?

[champion12]

Otta в сообщении #877899 писал(а):

Верно. В первой сперва сходимость смотрите. Потом равномерную сходимость. То, что в крайней точке интервала (в нуле) сходимости заведомо не будет, плохой признак. Это значит, что нужно пробовать доказывать отсутствие равномерной сходимости. Как Вы это умеете делать?

Спасибо! Еще по третьей задаче один вопрос не дает покоя.

$S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x}{(1+nx)(1+nx+x)}$

$S(0)=0$

$S_k(x)=0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}$

$S_k(0)=-0,5$

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}S_k(0)=-0,5\ne S(0)$

Как так получилось?

Теперь первая задача.

1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$

на $M=\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$

$e^{-t}<1-t,\;\;\;t\ne 0$

$\left|e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \left|\dfrac{1}{n(1-nx)}\right|$

Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(1-nx)}$ поточечно сходится при $x\in M$ по признаку сравнения с рядом $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$

Значит и $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$ сходится поточечно на данном множестве.

-- 21.06.2014, 16:54 --

Otta в сообщении #877899 писал(а):

Это значит, что нужно пробовать доказывать отсутствие равномерной сходимости. Как Вы это умеете делать?

Думаю ,что нужно показать, что предел точной верхней грани не будет равен нулю, верно?.

[Otta]

champion12 в сообщении #877915 писал(а):

Как так получилось?

Частичные суммы, поди, неверно посчитали. Напишите еще разик сами для себя одну за другой.

-- 21.06.2014, 20:13 --

champion12 в сообщении #877915 писал(а):

$e^{-t}<1-t,\;\;\;t\ne 0$

Почему? Проверьте оценку на конкретных значениях.
И вовсе необязательно пытаться замажорировать ряд обобщенным гармоническим, живите проще, оценивайте естественней.

champion12 в сообщении #877915 писал(а):

Думаю ,что нужно показать, что предел точной верхней грани не будет равен нулю, верно?.

Чего т.в.г.?

[champion12]

Otta в сообщении #877930 писал(а):

Частичные суммы, поди, неверно посчитали. Напишите еще разик сами для себя одну за другой.

Да, неверно, разобрался, спасибо.

Otta в сообщении #877930 писал(а):

Почему? Проверьте оценку на конкретных значениях.
И вовсе необязательно пытаться замажорировать ряд обобщенным гармоническим, живите проще, оценивайте естественней.

Да, оценку проверил, там знак в другую сторону, действительно.

А что значит естественнее? Это значит -- по определению, через частичные суммы? Пока что исследовал с выколотой окрестностью нуля.

$e^{nx}>1+nx+\dfrac{n^2x^2}{2}>\dfrac{n^2x^2}{2}$

$e^{-nx}<\dfrac{2}{n^2x^2}$

Рассмотрим сходимость на множестве $E(\varepsilon;\frac{\pi}{2})$

$\left|e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \left|\dfrac{2}{n^3x^2}\right|\le \left|\dfrac{2}{n^3\varepsilon^2}\right|$

По признаку вейештрасса на множестве $E(\varepsilon;\frac{\pi}{2})$ ряд будет сходится равномерно. Раз будет равномерно сходится, то поточечно тоже.

Но с нулем проблема, да. А нельзя просто сказать, что при $x=0$ будет гармонический ряд, потому равномерной сходимости нет, да и все?

Otta в сообщении #877930 писал(а):

Чего т.в.г.?

Я имею ввиду это

$\displaystyle\sup_{x\in M} \left|0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}-0,5\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

[Otta]

Куда Вы бежите сразу равномерную делать? доделайте поточечную. Для нее Ваших оценок более чем достаточно, Вы их только в голове уложите.

champion12 в сообщении #878001 писал(а):

А нельзя просто сказать, что при $x=0$ будет гармонический ряд, потому равномерной сходимости нет, да и все?

Просто сказать - нельзя. Ноль вообще не принадлежит Вашему множеству. Нужна хоть какая-то аргументация или доказательство.

-- 21.06.2014, 23:14 --

champion12 в сообщении #878001 писал(а):

$\displaystyle\sup_{x\in M} \left|0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}-0,5\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

Так это другое задание. И пора уже его исправить, если Вы там действительно нашли ошибку.

[champion12]

Otta в сообщении #878003 писал(а):

Куда Вы бежите сразу равномерную делать? доделайте поточечную. Для нее Ваших оценок более чем достаточно, Вы их только в голове уложите.

$0\le S_k(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\le \displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$

Вот оценка. Частичные суммы $\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$ сходится поточечно, значит и $S_k(x)$ сходятся поточечно. Можно ли так утверждать?

-- 21.06.2014, 20:35 --

Otta в сообщении #878003 писал(а):

Так это другое задание. И пора уже его исправить, если Вы там действительно нашли ошибку.

Ой, это имел ввиду.
$\displaystyle\sup_{x\in M}\mid {S_k}(x) - S(x)\mid\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$
Сейчас исправлю!

$$S_k=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{x}{(1+nx)(1+nx+x)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{nx+1}-\dfrac{1}{(n+1)x+1}\right)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(k+1)x+1}$$

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}S_k=\dfrac{1}{x+1}$

a) $M=\left(\varepsilon;+\infty\right),;\;\;\varepsilon>0$

$\displaystyle\sup_{x\in M} \left|\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(k+1)x+1}-\dfrac{1}{x+1}\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

$ \left|\dfrac{1}{(k+1)\varepsilon+1}\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

Условие действительно выполняется. Значит ряд сходится равномерно на этом множестве.

b) $M=\left(0;+\infty\right)$

$\displaystyle\sup_{x\in M} \left|\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(k+1)x+1}-\dfrac{1}{x+1}\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$

$ \left|\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(k+1)\cdot 0+1}-\dfrac{1}{x+1}\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}1\ne 0,~~ x\in M$

Значит на этом множестве ряд не схходится равномерно.

[Otta]

Значица так. Косинус - функция знакопеременная, и $0\le S_k(x)$ никак не получится. Это раз. Два будет потом, похоже.

-- 21.06.2014, 23:45 --

champion12 в сообщении #878015 писал(а):

$ \left|\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(k+1)\cdot 0+1}-\dfrac{1}{x+1}\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}1\ne 0,~~ x\in M$

Вот тут уберите $x$ куда-нибудь, таки Вы хотели супремум. А так все нормально теперь.

[champion12]

Otta в сообщении #878023 писал(а):

Значица так. Косинус - функция знакопеременная, и $0\le S_k(x)$ никак не получится. Это раз. Два будет потом, похоже.

Хорошо, спасибо, понял.
$|S_k(x)|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$

-- 21.06.2014, 20:50 --

Otta в сообщении #878023 писал(а):

champion12 в сообщении #878015 писал(а):

$ \left|\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(k+1)\cdot 0+1}-\dfrac{1}{x+1}\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}1\ne 0,~~ x\in M$

Вот тут уберите $x$ куда-нибудь, таки Вы хотели супремум. А так все нормально теперь.

$ \left|-\dfrac{1}{(k+1)\cdot 0+1}\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}1\ne 0,~~ x\in M$