О существовании полного дифференциала

[DimaM]

Seergey в сообщении #877495 писал(а):

Есть еще такой способ для этой формулы

Я немного перестал понимать, какова ваша конечная цель. Зачем все это жонглирование символами?

[Seergey]

То, что здесь (здесь - это в предыдущем сообщении) используется, что $S=S(T,V)$
То есть энтропия однозначно определяется двумя параметрами!

А конечная цель: найти энергию реального газа ВДВ

[DimaM]

Seergey в сообщении #877497 писал(а):

То, что здесь используется, что S=S(T,V)
То есть энтропия однозначно определяется двумя параметрами!

На колу мочало, начинай сначала?
Все, я сдаюсь :(.

Seergey в сообщении #877497 писал(а):

А конечная цель: найти энергию реального газа ВДВ

Так есть ведь общая формула:

$$U=U_{\mbox{ид}}+\int\limits_\infty^VT^2\left(\frac{\partial(p/T)}{\partial T}\right)_VdV.$$

При подстановке давления для газа ВдВ это дает (для одного моля)

$$U=C_VT-\frac{a}{V},$$

где $C_V$ - теплоемкость при постоянном объеме для идеального газа.

Подынтегральное выражение в первой формуле получается так - это $-\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T$, которое равно
$-\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T=p-T\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T$ (это мы получили выше).
Дальше преобразуем последнее выражение через якобианы:

$$\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\dfrac{\partial (S,T)}{\partial (V,T)}=\dfrac{\partial (S,T)}{\partial (V,T)}\dfrac{\partial (V,p)}{\partial (S,T)}=\dfrac{\partial (V,p)}{\partial (V,T)}=\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V.$$

Все.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877507 писал(а):

Seergey в сообщении #877497 писал(а):

То, что здесь используется, что S=S(T,V)
То есть энтропия однозначно определяется двумя параметрами!

На колу мочало, начинай сначала?
Все, я сдаюсь :(.

Почему?

DimaM в сообщении #877507 писал(а):

Дальше преобразуем последнее выражение через якобианы:

$$\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\dfrac{\partial (S,T)}{\partial (V,T)}=\dfrac{\partial (S,T)}{\partial (V,T)}\dfrac{\partial (V,p)}{\partial (S,T)}=\dfrac{\partial (V,p)}{\partial (V,T)}=\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V.$$

Это слишком сложно. Надо преобразовывать пользуясь существованием второй производной от свободной энергии:

$F=U-TS$

$dF=-pdV-SdT$

$\left(\dfrac{\partial F}{\partial V}\right)_T=-p$
$\left(\dfrac{\partial F}{\partial T}\right)_V=-S$
$\left(\dfrac{\partial \left(\dfrac{\partial F}{\partial V}\right)_T}{\partial T}\right)_V=-\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V$
$\left(\dfrac{\partial \left(\dfrac{\partial F}{\partial T}\right)_V}{\partial V}\right)_T=-\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T$
Hence:
$\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V=\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T$

[DimaM]

Seergey в сообщении #877509 писал(а):

Почему?

Забесплатно вдалбливать знания в голову студента, который к тому же еще и сопротивляется - нечто сродни мазохизму. Я не любитель подобных занятий.

Seergey в сообщении #877509 писал(а):

Это слишком сложно.

Наоборот, это максимально просто.

Seergey в сообщении #877509 писал(а):

Надо преобразовывать пользуясь существованием второй производной от свободной энергии

Посмотрите здесь. Возможно, в этом ящике сидит именно такой барашек, какой вам нужен.

[Seergey]

Последний вопрос и я ухожу:

В том файле написано $U=U(T,V)$, а здесь
$dS=\frac{1}{T} \frac{\partial U}{\partial T}dT + \frac{1}{T} (\frac{\partial U}{\partial V}+p)dV$ это полный дифференциал функции двух переменных так? А он существует только если $S=S(T,V)$. Что здесь не так то?

[DimaM]

Seergey в сообщении #877513 писал(а):

В том файле написано $U=U(T,V)$

Там написано $U=U(T,V,\nu)$ - состояние определяется тремя параметрами. Если один из них (количество газа) зафиксировать, получится функция от двух переменных. Если не фиксировать - не получится.
Вам это писали уже не раз.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877517 писал(а):

Seergey в сообщении #877513 писал(а):

В том файле написано $U=U(T,V)$

Там написано $U=U(T,V,\nu)$ - состояние определяется тремя параметрами. Если один из них (количество газа) зафиксировать, получится функция от двух переменных. Если не фиксировать - не получится.
Вам это писали уже не раз.

Я тоже не раз писал, что если количество вещества неизменно, а это так для замкнутой системы, то любая ТД функция определится любыми двумя параметрами. А если количество вещества изменяется, то и та формула для энергии ВДВ неверна ибо неверна сама формула $\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V=\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T$, которая обеспечивается именно существованием полного дифференциала функции $F=F(T,V)$

[DimaM]

Seergey в сообщении #877520 писал(а):

Я тоже не раз писал, что если количество вещества неизменно, а это так для замкнутой системы, то любая ТД функция определится любыми двумя параметрами.

Вы и много других неверных утверждений писали. Определится, если количество вещества известно. Это не то же самое, что неизменно.

Seergey в сообщении #877520 писал(а):

А если количество вещества изменяется, то и та формула для энергии ВДВ неверна.

В файле написана общая формула для произвольного количества вещества.
Еще раз: количество вещества должно быть известно, история его (не)изменения роли не играет.
Дальше без меня.

[Seergey]

Спасибо, тема полностью раскрыта, до свидания

[Munin]

DimaM
А энтропия для газа Ван-дер-Ваальса подсчитана? :-)

[Seergey]

$dS=\frac{dU+pdV}{T}=\frac{\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV+pdV}{T}=$
$=\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V \frac{dT}{T}+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T \frac{dV}{T}+p \frac{dV}{T}=$
$=\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V \frac{dT}{T}+(-p+T \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T) \frac{dV}{T}+p \frac{dV}{T}=$
$=C_v \frac{dT}{T}-p \frac{dV}{T}+T \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T \frac{dV}{T}+p \frac{dV}{T}=$
$=C_v \frac{dT}{T}+T \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T \frac{dV}{T}=$
$=C_v \frac{dT}{T}+\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T dV=$
$=C_v d(\ln T)+\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T dV$

Если $V=\operatorname{const}$, то $S(T)=C_v \ln T + \operatorname{const}$

А если $V$ не постоянный, то

$dS=C_v d(\ln T)+\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T dV=$
$=C_v d(\ln T)+\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V dV$

Так же известно, что $p(T,V)=\frac{RT}{V-\beta}-\frac{\alpha}{V^2}$, тогда
$\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V=\frac{R}{V-\beta}$

Hence:
$dS=C_v d(\ln T)+\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V dV=C_v d(\ln T)+\frac{R}{V-\beta} dV=$
$=C_v d(\ln T)+\frac{R}{V-\beta} d(V-\beta)=$
$=C_v d(\ln T)+R d(\ln (V-\beta))$

Тогда энтропия будет равна:

$S(T,V)=C_v \ln T+R \ln (V-\beta) + \operatorname{const}$

[Seergey]

Отсюда можно, кстати, получить и энергию ВДВ

$dU=TdS-pdV$
$dU=T C_v \frac{dT}{T}+\frac{RT}{V-\beta} dV-pdV=$
$=C_v dT+(\frac{RT}{V-\beta}-p)dV=$
$=C_v dT+(\frac{RT}{V-\beta}-(\frac{RT}{V-\beta}-\frac{\alpha}{V^2}))dV=$
$=C_v dT+\frac{\alpha}{V^2}dV$

Следовательно:
$U(T,V)=\int C_v dT+ \int \frac{\alpha}{V^2}dV=\int_{}^{*} C_v dT -\frac{\alpha}{V}+\operatorname{const} $

[Seergey]

DimaM в сообщении #877481 писал(а):

Seergey в сообщении #877475 писал(а):

А как все-таки получить такое же из

$TdS = dU + pdV$

А прям так и получить - поделить на $dV$ при постоянной $T$. Главное, следующих ваших строчек не писать, они только запутывают.

Ещё не очень ясен математический смысл деления на $dV$ при постоянной температуре. При постоянной температуре чего? Во все члены где входит температура она считается постоянной?