О сумме двух кубов

[ljubarcev]

«Еще одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов; запишите его в виде двух кубов другим способом. Здесь кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению всех целочисленных решений уравнения $X^3+Y^3=U^3+V^3$. Френикль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашел несколько решений, например $1729 = 9^3+10^3=1^3+12^3$ и $40033=16^3+33^3=9^3+34^3 (по видимому испытанным методом проб и ошибок).» (Г. Эдвардс. «Последняя теорема Ферма», под редакцией Б.Ф.Скубенко. изд. Мир. Москва, 1980 год, стр. 54.)
Задача решаема. Таковых пар сумм кубов бесконечное множество. Решение получается путем доказательства утверждения:
Любая пара целых чисел дает решение в целых числах уравнения

$$X^3+Y^3=U^3+V^3$$

. (1)
Нахождение решений можно производить с помощью приведенного ниже тождества
$(6a^2-4ab+4b^2)^3=(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5a^2- 5ab-3b^2)^3$ (2)
( В.А.Кречмар, “Задачник по алгебре”, Москва, Наука, 1972 год, стр. 6 )
Тождество (2) решает задачу представления куба суммой трех других кубов путем выбора любой пары чисел $a$ и $b$.
Pассмотрим частный случай, предположив, что числа $a$ и $b$ не взаимно простые, то есть положим $a=mb$ , тогда тождество примет вид:
$(6m^2-4m+4)^3=(3m^2+5m-5)^3+(4m^2-4m+6)^3+(5m^2-5m-3)^3$ (3)
Тождество (3) (а это именно тождество, так как справедливо при любом целом $m$) доказывает теорему: любое целое число дает решение задачи представления куба целого числа суммой трёх кубов целых чисел.
Приведем несколько примеров.
$m=0$ $6^3=5^3+4^3+3^3$;
$m=1$ $6^3=3^3+6^3+(-3)^3$;
$m=2$ $20^3=17^3+14^3+7^3$;
$m=3$ $46^3=37^3+29^3+27^3$;
$m=4$ $84^3=63^3+54^3+57^3$, $28^3=23^3+18^3+19^3$;
$m=5$ $134^3=95^3+86^3+97^3$;
$m=6$ $156^3=133^3+126^3+147^3$;
$m=7$ $270^3=177^3+174^3+207^3$, $90^3=59^3+58^3+69^3$;
$m=8$ $356^3=227^3+230^3+277^3$;
$m=9$ $454^3=283^3+294^3+357^3$;
$m=10$ $564^3=345^3+366^3+447^3$, $188^3=115^3+122^3+139^3$;
$m=11$ $686^3=413^3+446^3+547^3$;
$m=12$ $820^3=487^3+534^3+657^3$;
$m=13$ $966^3=567^3+530^3+777^3$ , и т.д.
Рассматривая тождество (2) можно заметить, что при $a > b$ левая его часть всегда положительна и если одно и только одно из слагаемых в правой его части будет отрицательным, то тогда новое тождество и будет давать решения рассматриваемой задачи.
Pассмотрим частный случай тождества (2), когда числа $a$ и $b$ являются соседними числами, то есть $a=b+1$ , тогда тождество (2) принимает вид:
$(6b^2+8b + 6)^3+(3b^2–5b-5)^3=(3b^2+11b+3)^3+(6b^2+4b+4)^3$ (4) Ясно, что при любом целом положительном b большем 3 (при равном тоже) все четыре числа в скобках будут положительны и будут числами, дающими представление суммы двух кубов суммой двух других кубов. Таким образом, справедлива теорема: любое целое число большее или равное $3$ даёт решение задачи представления суммы двух кубов суммой двух других кубов $X^3+Y^3=U^3+V^3$ , при этом: $X=6b^2+8b+6$; $Y=3b^2-5b-5$; $U=3b^2+11b+3$; $V=6b^2+4b+4$. $b>3$.
Например:
$b=1$ $20^3-7^3=17^3+14^3$
$b=2$ $46^3-3^3=37^3+36^3$
$b=3$ $84^3+7^3=63^3+70^3$
$b=4$ $134^3+23^3=95^3+116^3$
$b=5$ $196^3+45^3=133^3+178^3$
$b=6$ $270^3+73^3=177^3+244^3$ и т.д.
Так как равенство
$(6b^2+8b+6)^3+(3b^2-5b-5)^3=(3b^2+11b+3)^3+(6b^2+4b+4)^3$ является тождеством и справедливо при любом $b$, то оно справедливо и при любом $b=ak$. То есть выражение $(6a^2k^2+8ak+6)^3+(3a^2k^2-5ak-5)^3=(3a^2k^2+11ak+3)^3+(6a^2k^2+4ak+4)^3$ (5) также будет тождеством и будет давать представление суммы двух кубов суммой двух других кубов при любых $a;k$. Ясно, что для каждого выбранного образующего числа $a$, давая числу $k$ последовательно значения из бесконечного натурального ряда 0;1;2;… получим бесконечное множество решений рассматриваемой задачи Ферма. Однако, не доказано, что так мы получим все решения задачи.
Дед.

[juna]

Вот 1 2 еще пища для размышлений...

[maxal]

Вот тут еще есть всякие параметрические решения:
http://euler.free.fr/identities.htm

[ljubarcev]

maxal писал(а):

Вот тут еще есть всякие параметрические решения:
http://euler.free.fr/identities.htm

maxal ! Большое спасибо за внимание и особенно за информациюю
Дед.

[ljubarcev]

Из тождества $(6a^2-4ab+ 4b^2)^3=(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5a^2-5ab-3b^2)^3$ следует что ЛЮБАЯ пара целых чисел $a;b$ даёт при $z=6a^2-4ab+ 4b^2$; $y=4a^2-4ab+6b^2$; $x=3a^2+5ab-5b^2$; $w=5a^2-5ab-3b^2$ решение в целых числах уравнения $z^3=y^3+x^3+w^3$.
Очевидно, что числа $z;y;x$ при $a>b$ всегда положительны. Число $w$ может быть как положительным так и отрицательным. Не трудно сообразить, что если бы было $w=0$, то мы получили бы решение уравнения $z^3=x^3+y^3$.
Докажем, что в целых числах это невозможно.
Из $w=5a^2-5ab-3b^2=0$ следует
$\frac{a}{b}=\frac{5\pm \sqrt{37}}{10}$. В последнем равенстве число слева рациональное, число справа – иррациональное, следовательно, равенство невозможно. Этим доказано, что не существует пары целых чисел, дающей решение равенства $z^3=x^3+y^3$ и это равенство не имеет решений в целых числах.
Дед.

[Amigo]

ljubarcev писал(а):

Этим доказано, что не существует пары целых чисел, дающей решение равенства $z^3=x^3+y^3$ и это равенство не имеет решений в целых числах.
Дед.

Этим доказанно, что если некая четвёрка (x,y,z,w) удовлетворяет уравнению:
z^3=x^3+y^3+w^3 - то тройка (x,y,z) не удовлетворяет уравнению
z^3=x^3+y^3. Но Вы же не можете доказать, что найдёными по формулам:
z=6a^2-4ab+ 4b^2;
y=4a^2-4ab+6b^2;
x=3a^2+5ab-5b^2;
w=5a^2-5ab-3b^2
-чётверками (x,y,z,w) исчерпывается вообще всё пространство троек (x,y,z) для которых теорему Ферма нужно проверить? Для теоремы Ферма "подозрительными по решению" являются тройки (x,y,z) удовлетворяющие неравенству x+y>z. Однако, если z - выражать
по формуле $z=6a^2-4ab+ 4b^2$; То "мимо" этого решения пролетят все числа
получаемые по формуле z=10p+8 (и не только эти). Для которых, очевидно, теорема Ферма остаётся под вопросом.

[ljubarcev]

Amigo писал(а):

.Этим доказанно, что если некая четвёрка (x,y,z,w) удовлетворяет уравнению:
z^3=x^3+y^3+w^3 - то тройка (x,y,z) не удовлетворяет уравнению
z^3=x^3+y^3. Но Вы же не можете доказать, что найдёными по формулам:
z=6a^2-4ab+ 4b^2;
y=4a^2-4ab+6b^2;
x=3a^2+5ab-5b^2;
w=5a^2-5ab-3b^2
-чётверками (x,y,z,w) исчерпывается вообще всё пространство троек (x,y,z) для которых теорему Ферма нужно проверить? Для теоремы Ферма "подозрительными по решению" являются тройки (x,y,z) удовлетворяющие неравенству x+y>z. Однако, если z - выражать
по формуле $z=6a^2-4ab+ 4b^2$; То "мимо" этого решения пролетят все числа
получаемые по формуле z=10p+8 (и не только эти). Для которых, очевидно, теорема Ферма остаётся под вопросом.

Уважаемый Amigo ! Конечно, Вы правы. Доказательство можно было бы считать полным, только если бы было доказано, что тождество $$(6a^2–4ab+ 4b^2)^3=(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2–4ab+6b^2)^3+(5a^2– 5ab-3b^2)^3$ (1) даёт все решения уравнения вида $z^3=y^3+x^3+w^3$. Я исхожу из того, что это именно так, но это не доказано.
Хочу обратить Ваше внимание на интересный (по моему) факт.
Известно, что равенству $z^2=x^2+y^2$ удовлетворяет минимальная тройка чисел $5;4;3$, а все остальные тройки $z;y;x$ обладают свойством $zyx=5\times 4\times3z_1y_1x_1=60P$.
Минимальной четвёркой чисел, удовлетворяющей равенству (1) является четвёрка $6;5;4;3$. Я подозреваю, что все последующие четверки по аналогии со случаем $n=2$ так же должны делиться на $60$. Не доказал, но и контрпримера пока не нашел.
Дед.

[Amigo]

ljubarcev писал(а):

Доказательство можно было бы считать полным, только если бы было доказано, что тождество $$(6a^2–4ab+ 4b^2)^3=(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2–4ab+6b^2)^3+(5a^2– 5ab-3b^2)^3$ (1) даёт все решения уравнения вида $z^3=y^3+x^3+w^3$. Я исхожу из того, что это именно так, но это не доказано.

К сожалению это не верно.
Контрпример:



18^3=2^3+12^3+16^3, однако число 18 не может быть получено из формулы
z=6a^2 – 4ab+ 4b^2, не при каких значениях параметров a и b.

[Yarkin]

ljubarcev писал(а):

Этим доказано, что не существует пары целых чисел, дающей решение равенства $z^3=x^3+y^3$ и это равенство не имеет решений в целых числах.
Дед.

Это Вы доказали для прямоугольного треугольника со сторонами $z^{3/2}, y^{3/2}, z^{3/2}$, а в условии ВТФ прямоугольного треугольника нет.

[ljubarcev]

Amigo писал(а):

К сожалению это не верно.
Контрпример:
18^3=2^3+12^3+16^3, однако число 18 не может быть получено из формулы
z=6a^2 – 4ab+ 4b^2, не при каких значениях параметров a и b.

Уважаемый Amigo ! Большое списибо ! Ваш пример действительно опровергает моё утверждение $zyx=60P$. Строго можно утверждать только, что $zyx=6P$.
Дед.

[ljubarcev]

Куб любого натурального числа может быть представлен в виде разности двух натуральных чисел, то есть всегда имеет место равенство $a^3=z-y$. Домножим последнее равенство на число $z^2+zy+y^2$ и получим $(z^2+zy+y^2)a^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)=z^3-y^3$. Таким образом, при любом $a$ получим равенство: $(z^2+zy+y^2)a^3=z^3-y^3$. (1)
Теперь предположим, что существует пара взаимно простых чисел $z;y$, удовлетворяющих равенству $z^3-y^3=x^3$.
Доказано, что при этом должно быть (если $x$ делится на $3$)
$z^2+zy+y^2=3x_1^3$; $x=3mx_1$; $z-y=9m^3$. После подстановки получим, что должно быть: $3x_1^3a^3=3x_1^39m^3$, откуда ясно, что должно быть $9m^3=a^3$; $m=\frac{a}{\sqrt[3]{9}}$. Ясно, так как $a$ - натуральное по исходному предположению, $m$ всегда иррационально. Из этого следует, что $x=3x_1m$ не целое - иррациональное и нет трйки натуральных чисел, удовлетворяющих равенству $z^3-y^3=x^3$. ЧТД
Дед.

[AV_77]

Из того, что

ljubarcev писал(а):

Куб любого натурального числа может быть представлен в виде разности двух натуральных чисел, то есть всегда имеет место равенство $a^3=z-y$.

совсем не следует, что для любых $z$ и $y$ можно найти такое натуральное $a$, что $z-y = a^3$.

[shwedka]

Коллеги, извините, что вмешиваюсь. Только что появилась статья
http://rapidshare.com/files/71988521/euler.pdf.html
(пардон, что по-английски, но вы, живущие в России, без труда добудете русский оригинал).
Там анализируется доказательство ВТФ для степени 3, предложенное Эйлером, с известной ошибкой, и предлагается элементарный метод исправления этой ошибки. Я не скажу, что очень внимательно смотрела, но по первому впечатлению автор не проврался. Призываю участников ознакомиться со статьей. Возможно, некоторые избавятся от внутренней потребности найти элементарное доказательство для кубов. Такое доказательство уже, стало быть, есть, и новое славы и почета не принесет, даже оказавшись правильным.

[ljubarcev]

AV_77 писал(а):

Из того, что

ljubarcev писал(а):

Куб любого натурального числа может быть представлен в виде разности двух натуральных чисел, то есть всегда имеет место равенство $a^3=z-y$.

совсем не следует, что для любых $z$ и $y$ можно найти такое натуральное $a$, что $z-y = a^3$.

Уважаемый AV_77 ! Ваше утверждение конечно же верно ! Но я использовал другое, также верное, утверждение $a^3=z-y$. Ведь натуральное число любого вида большее $3$ представимо в виде разности двух не нулевых натуральных чисел. Именно $z-y$, потому что при этом в область рассматрения попадают все множество натуральных чисел $z;y$. Можно было бы взять, например, $a^3=z+y$, но при этом множество чисел $z;y$ ограничивается числом $a^3-1$.
Дед.

Добавлено спустя 51 минуту 23 секунды:

shwedka писал(а):

Коллеги, извините, что вмешиваюсь. Только что появилась статья
http://rapidshare.com/files/71988521/euler.pdf.html
(пардон, что по-английски, но вы, живущие в России, без труда добудете русский оригинал).
Там анализируется доказательство ВТФ для степени 3, предложенное Эйлером, с известной ошибкой, и предлагается элементарный метод исправления этой ошибки. Я не скажу, что очень внимательно смотрела, но по первому впечатлению автор не проврался. Призываю участников ознакомиться со статьей. Возможно, некоторые избавятся от внутренней потребности найти элементарное доказательство для кубов. Такое доказательство уже, стало быть, есть, и новое славы и почета не принесет, даже оказавшись правильным.

Уважаемая Shwedka ! Неясности в доказательстве Эйлера при $n=3$ тщательно анализировал Эдвардс (есть на русском языке) и доказал, что эти неясности не опровергают его. Так что Ваше замечание - "Такое доказательство уже, стало быть, есть, и новое славы и почета не принесет, даже оказавшись правильным" - верно.. Добавлю от себя: деньгами. даже при элементарном доеазательстве всей теоремы тоже "не пахнет". Премия Вольфскеля давно выплачена Кумеру и в конце прошлого века Уайлзу. Вам это будет трудно понять, но так как я на самом деле - дед, вопросы "славы и почёта" (как Вы пишете) меня уже не интересуют. Меня интересует Истина и увлекает (приносит удовлетворение) её поиск. Если Вы скажете, что это - болезнь - я с Вами соглашусь.
Дед.

[PAV]

ljubarcev, пока Вы будете таким способом строить свои выводы, ничего из этого получаться не будет.
Я сформулировал, в чем корень Ваших ошибок, могу попробовать это объяснить. Вот Вы пишете

ljubarcev писал(а):

Но я использовал другое, также верное, утверждение $a^3=z-y$.

Постарайтесь осознать, что то, что Вы написали ($a^3=z-y$) не является утверждением. Вы, похоже, понимаете, что математический вывод должен состоять из утверждений, однако не понимаете разницы между утверждением и формулой. А разница примерно такая же, как между словом и предложением. Слово не может быть истинным или ложным, таковым может быть предложение, которое состоит из слов.

Утверждение должно быть осмысленным, законченным и цельным высказыванием, имеющем, в частности, подлежащее и сказуемое.
Вот посмотрите на четыре примера утверждений, во всех них фигурирует упомянутая Вами формула:

1. Для любого натурального числа $a$ существует бесконечно много пар целых чисел $y,z$, для которых верно равенство $a^3=z-y$.
2. Для любых целых чисел $a$ и $y$ существует такое целое число $z$, для которого верно равенство $a^3=z-y$.
3. Для любых целых чисел $a$ и $z$ существует такое целое число $y$, для которого верно равенство $a^3=z-y$.
4. Для любых двух целых чисел $y,z$ существует такое целое число $a$, для которого верно равенство $a^3=z-y$.

Обратите внимание: формула одна, а все четыре утверждения (построенные на этой формуле) разные. Первые три из них истинны, четвертое - ложно.

Я замечаю, что Вы мыслите не утверждениями, а формулами. Вам кажется, что все формулы следуют одна из другой, а значит весь вывод - верен. Тогда как следовать одно из другого должны утверждения, а Вы их банально путаете. Когда Вы выводите некоторую формулу, то она используется в контексте одного утверждения. Хотя Вы его часто пропускаете, но все читатели его автоматически восстанавливают (поскольку профессиональные математики мыслят именно утверждениями, их к этому приучают с самого начала обучения) и соглашаются с Вами. После этого Вы используете ту же самую формулу в доказательстве, но при этом она фигурирует уже в контексте совсем другого утверждения, неверного. Все указывают Вам на эту ошибку, а Вы этого не понимаете и Вам кажется, что оппоненты противоречат тому, что сами же говорили раньше.

Для доказательства теоремы Ферма Вы должны рассмотреть все возможные наборы чисел $x,y,z$. При этом та формула, о которой я тут писал, используется в контексте четвертого утверждения, которое неверно. И это совершенно не противоречит тому, что другие утверждения с той же самой формулой могут быть верны.

Точно так же Ваше замечание о том, что

Цитата:

в область рассмотрения попадают все множество натуральных чисел $z;y$.

неверно.