«Еще одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов; запишите его в виде двух кубов другим способом. Здесь кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению всех целочисленных решений уравнения

. Френикль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашел несколько решений, например

и $40033=16^3+33^3=9^3+34^3 (по видимому испытанным методом проб и ошибок).» (Г. Эдвардс. «Последняя теорема Ферма», под редакцией Б.Ф.Скубенко. изд. Мир. Москва, 1980 год, стр. 54.)
Задача решаема. Таковых пар сумм кубов бесконечное множество. Решение получается путем доказательства утверждения:
Любая пара целых чисел дает решение в целых числах уравнения

. (1)
Нахождение решений можно производить с помощью приведенного ниже тождества

(2)
( В.А.Кречмар, “Задачник по алгебре”, Москва, Наука, 1972 год, стр. 6 )
Тождество (2) решает задачу представления куба суммой трех других кубов путем выбора любой пары чисел

и

.
Pассмотрим частный случай, предположив, что числа

и

не взаимно простые, то есть положим

, тогда тождество примет вид:

(3)
Тождество (3) (а это именно тождество, так как справедливо при любом целом

) доказывает теорему: любое целое число дает решение задачи представления куба целого числа суммой трёх кубов целых чисел.
Приведем несколько примеров.

;

;

;

;

,

;

;

;

,

;

;

;

,

;

;

;

, и т.д.
Рассматривая тождество (2) можно заметить, что при

левая его часть всегда положительна и если одно и только одно из слагаемых в правой его части будет отрицательным, то тогда новое тождество и будет давать решения рассматриваемой задачи.
Pассмотрим частный случай тождества (2), когда числа

и

являются соседними числами, то есть

, тогда тождество (2) принимает вид:

(4) Ясно, что при любом целом положительном b большем 3 (при равном тоже) все четыре числа в скобках будут положительны и будут числами, дающими представление суммы двух кубов суммой двух других кубов. Таким образом, справедлива теорема: любое целое число большее или равное

даёт решение задачи представления суммы двух кубов суммой двух других кубов

, при этом:

;

;

;

.

.
Например:

и т.д.
Так как равенство

является тождеством и справедливо при любом

, то оно справедливо и при любом

. То есть выражение

(5) также будет тождеством и будет давать представление суммы двух кубов суммой двух других кубов при любых

. Ясно, что для каждого выбранного образующего числа

, давая числу

последовательно значения из бесконечного натурального ряда 0;1;2;… получим бесконечное множество решений рассматриваемой задачи Ферма. Однако, не доказано, что так мы получим все решения задачи.
Дед.