2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 12:37 


10/02/11
6786
Следующая конструкция является формализацией в терминах тензорного анализа определения тензора напряжений, которое содержится в учебнике по МСС Седова.



1) В физическом пространстве $\mathbb{R}^3$ с декартовыми координатами и стандартной евклидовой метрикой $(\cdot,\cdot)$ зададим область $D\subset\mathbb{R}^3$ и введем в ней локальные криволинейные координаты $x^i$ с базисными векторами $e_i(x),\quad g_{ij}=(e_i,e_j)$

2) Запишем дифференциальную форму объема через "дискриминантный тензор":
$$\omega=\sqrt g\epsilon_{ijk}dx^i\otimes dx^j\otimes dx^k=\sqrt g dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3,\quad g=\det(g_{ij})$$

3) Будем считать, что область $D$ заполнена сплошной средой. Выделим в ней произвольный объем $W\subset D$.
Постулируем, что сила, действующая на поверхность $\partial W$ со стороны объемлющей среды, вычисляется с помощью тензора $p^{ij}(x),\quad x\in D$ по формуле
$$F=\int_{\partial W}p^{ij}\sqrt g\epsilon_{jkn}e_i\otimes dx^k\otimes dx^n$$ $$=\int_{\partial W}\sqrt ge_i\otimes \big(p^{i1} dx^2\wedge dx^3+p^{i2} dx^3\wedge dx^1+p^{i3} dx^1\wedge dx^2\big).$$
При интегрировании векторнозначной дифференциальной формы подразумевается, что векторы $e_i(x)$ могут быть разложены по системе декартовых координат в $\mathbb{R}^3$ и проинтегрированы покомпонентно.

4) Тензор $p^{ij}$ называется тензором напряжений. Форма $\omega$ является аксиальным тензором [Дубровин Новиков Фоменко Современная Геометрия], сила $F$ является истинным вектором, поэтому тензор напряжений является аксиальным тензором.

5) Полезно уметь выражать силу $F$ через интеграл по объему $W$.
Применяя формулу Стокса находим
$$F=\int_W\frac{\partial}{\partial x^k}\Big(\sqrt g  p^{ik}e_i\Big)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3=\int_W(\nabla_kp^{ik})\sqrt g e_idx^1\wedge dx^2\wedge dx^3.$$
Здесь существенно используется факт существования евклидовых координат в которых $g_{ij}=\delta_{ij} $ и формулы
$$\frac{\partial}{\partial x^k}\sqrt g=\Gamma^n_{nk}\sqrt g,\quad \frac{\partial}{\partial x^k}e_i=\Gamma^s_{ik}e_s$$

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Какие претензии ко введению тензора напряжений в ЛЛ-7?

(Оффтоп)

(Я гляжу, вы чуть ли не единственный фанатик учебника Седова на форуме...)


Oleg Zubelevich в сообщении #875614 писал(а):
тензор напряжений является аксиальным тензором

С точки зрения физической интуиции это неудобно. Допустим, тензор напряжений является всесторонним сжатием. Инвертируем систему координат. Всестороннее сжатие осталось всесторонним сжатием, так что и тензор напряжений желательно оставить с прежним знаком.

-- 15.06.2014 14:00:43 --

P. S. Тензор деформаций, вроде бы, является истинным (в смысле, не аксиальным), и определение тензора напряжений удобно согласовывать с тензором деформаций так, чтобы они имели компоненты одного знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 13:42 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #875619 писал(а):
тензор напряжений желательно оставить с прежним знаком.

тогда направление силы , действующей на объем будет зависить от ориентации системы координат

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Сила действует не на объём, а на площадь (площадку). А чтобы найти силу, действующую на объём, необходимо применить ещё дифференцирование, потому что если тензор напряжения константа, то на объём никаких сил не действует - среда в равновесии.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 14:24 


10/02/11
6786
да, это принципиальное замечание, должен быть такой текст:

Постулируем, что сила, действующая на любую часть $\Sigma\subseteq\partial W$со стороны объемлющей (внешней по отношению к $W$) среды, вычисляется с помощью тензора $p^{ij}(x),\quad x\in D$ по формуле
$$F=\int_{\Sigma}p^{ij}\sqrt g\epsilon_{jkn}e_i\otimes dx^k\otimes dx^n$$ $$=\int_{\Sigma}\sqrt ge_i\otimes \big(p^{i1} dx^2\wedge dx^3+p^{i2} dx^3\wedge dx^1+p^{i3} dx^1\wedge dx^2\big).$$
Причем ориентация $\Sigma$ согласована с ориентацией $W$.

По-моему это только проявляет аксиальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Давайте посмотрим.

В векторной алгебре принято сравнивать направление силы с направлением нормали площадки. Если сила сонаправлена с нормалью - это натяжение, если противонаправлена - это давление (я полагаю нормаль смотрящей "наружу" из элементарного объёма).

В внешней алгебре ориентация площадки задаётся не нормалью, а бивектором - упорядоченной парой касательных векторов. И вот тут кроется звёздочка Ходжа, которая сопоставляет бивектору площадки вектор нормали. (Я не различаю векторы и ковекторы, наше пространство снабжено скалярным произведением.)

Сила, конечно же, истинный вектор. Например, она может быть измерена динамометром, и может ускорить пробную частицу (направление смещения динамометра и направление ускорения частицы будут истинными векторами). Вектор нормали площадки - тоже истинный вектор. Остаётся считать, что при инверсии пространства меняется звёздочка Ходжа - или всё ваше определение надо умножить "руками" на $(-1)^{\sigma},$ где $\sigma$ указывает ориентацию системы координат. Это, разумеется, сделает тензор истинным, не аксиальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 15:05 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #875658 писал(а):
Вектор нормали площадки - тоже истинный вектор.

вектор внешней нормали может быть согласован с ориентацией поверхности , а может не быть с ней согласован , это влияет на знак интеграла $\int_\Sigma$,
Munin в сообщении #875658 писал(а):
Остаётся считать, что при инверсии пространства меняется звёздочка Ходжа

так и есть.
Munin в сообщении #875658 писал(а):
или всё ваше определение

это не мое определение, это формальная запись определения из Седова (в ЛЛ-7 определение, по сути, такое же как у Седова)

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #875668 писал(а):
так и есть.

Меняется в том смысле, что для того же бивектора (инверсия не меняет бивектора) будет то же направление нормали (наружу из элементарного объёма).

-- 15.06.2014 16:07:31 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875668 писал(а):
вектор внешней нормали может быть согласован с ориентацией поверхности , а может не быть с ней согласован

Логично. Но в любом случае, знак тензора напряжений должен быть согласован с вектором внешней нормали.

-- 15.06.2014 16:08:36 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875668 писал(а):
это не мое определение, это формальная запись определения из Седова (в ЛЛ-7 определение, по сути, такое же как у Седова)

Тот итог, что тензор напряжений аксиальный, кажется, расходится с тем, что написано в ЛЛ-7. Где-то по дороге знак потерялся.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 17:22 


10/02/11
6786
тут у Вас сторонник появился

http://mathoverflow.net/questions/17187 ... udo-tensor

но меня это пока не убеждает, буду думать

-- Вс июн 15, 2014 17:44:55 --

тему в дискуссионный раздел надо перенести

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Перечитал ЛЛ-7. Там логика всё-таки в другую сторону, но вы правы: из выражения $\int\mathbf{F}\,dV$ следует, что сила $\mathbf{F},$ действующая на единицу объёма, меняет знак вместе с самим объёмом. Получается, и тензор напряжений, вводимый (2.1) $F_i=\partial\sigma_{ik}/\partial x_k,$ тоже аксиальный. Я просто об этом не задумывался...

Сильно непривычно.

-- 15.06.2014 18:49:48 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875714 писал(а):
тут у Вас сторонник появился

http://mathoverflow.net/questions/17187 ... udo-tensor


Я на МathOverflow не зарегистрирован, а то бы выступил в вашу пользу. Да и вообще, там, вроде, community математиков, что я буду лезть. Без меня разберутся.

Oleg Zubelevich в сообщении #875714 писал(а):
тему в дискуссионный раздел надо перенести

С учётом того, что я разобрался, думаю, в дискуссионный не стоит. В "Вопросах преподавания" или максимум в "Помогите решить/разобраться (Ф)" ей самое место.

-- 15.06.2014 18:57:08 --

Для разговора там потребуется копия
L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Theory of Elasticity. Vol. 7.
а у меня нет. Пошёл искать.

-- 15.06.2014 19:07:56 --

Хм. Аргументы Crowell-а тоже здравы (про ОТО).

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 18:15 


10/02/11
6786
я еще вот что надумал. Мы должны проинтегрировать по поверхности нечто и получить вектор. Значит интегрировать мы должны векторнозначную 2-форму: $\sum_{j<k}\omega^i_{jk}dx^j\wedge dx^k$
Тензор $\omega^i_{jk}$ по нижним индексам кососимметричен, следовательно он определяется 9 числами. Значит мы можем поставить в соответствие этому тензору квадратную матрицу, она и есть тензор напряжений, соответствие аксиальное. Это подобно тому, как мы ставим аксиальный вектор в соответствие 2-форме. Ну никак у меня не получается без аксиальности.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ландафшиц по-английски: вот официально выложенное издание 1970 года: https://archive.org/details/TheoryOfElasticity

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #875731 писал(а):
Мы должны проинтегрировать по поверхности нечто и получить вектор.

А кстати, нет. Сила - ковектор. Потому что она градиент потенциала. Так что опускайте индекс вниз, раз уж вы верхние и нижние различаете :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #875731 писал(а):
Значит мы можем поставить в соответствие этому тензору квадратную матрицу

Вот это место какое-то мутное, индексы играют разные роли в матрице, а должно получиться что-то симметрическое. Но может, у меня просто голова уже не варит.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 20:07 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #875751 писал(а):
Так что опускайте индекс вниз, раз уж вы верхние и нижние различаете

а это ничего не меняет
Munin в сообщении #875751 писал(а):
должно получиться что-то симметрическое

вообще говоря, не должно

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор напряжений
Сообщение15.06.2014, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #875753 писал(а):
вообще говоря, не должно

Ну тензор напряжений же симметрический. Тут мы просто можем подглядывать в ответ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group