тензор напряжений

[Oleg Zubelevich]

Следующая конструкция является формализацией в терминах тензорного анализа определения тензора напряжений, которое содержится в учебнике по МСС Седова.



1) В физическом пространстве $\mathbb{R}^3$ с декартовыми координатами и стандартной евклидовой метрикой $(\cdot,\cdot)$ зададим область $D\subset\mathbb{R}^3$ и введем в ней локальные криволинейные координаты $x^i$ с базисными векторами $e_i(x),\quad g_{ij}=(e_i,e_j)$

2) Запишем дифференциальную форму объема через "дискриминантный тензор":

$$\omega=\sqrt g\epsilon_{ijk}dx^i\otimes dx^j\otimes dx^k=\sqrt g dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3,\quad g=\det(g_{ij})$$

3) Будем считать, что область $D$ заполнена сплошной средой. Выделим в ней произвольный объем $W\subset D$.
Постулируем, что сила, действующая на поверхность $\partial W$ со стороны объемлющей среды, вычисляется с помощью тензора $p^{ij}(x),\quad x\in D$ по формуле

$$F=\int_{\partial W}p^{ij}\sqrt g\epsilon_{jkn}e_i\otimes dx^k\otimes dx^n$$

$$=\int_{\partial W}\sqrt ge_i\otimes \big(p^{i1} dx^2\wedge dx^3+p^{i2} dx^3\wedge dx^1+p^{i3} dx^1\wedge dx^2\big).$$

При интегрировании векторнозначной дифференциальной формы подразумевается, что векторы $e_i(x)$ могут быть разложены по системе декартовых координат в $\mathbb{R}^3$ и проинтегрированы покомпонентно.

4) Тензор $p^{ij}$ называется тензором напряжений. Форма $\omega$ является аксиальным тензором [Дубровин Новиков Фоменко Современная Геометрия], сила $F$ является истинным вектором, поэтому тензор напряжений является аксиальным тензором.

5) Полезно уметь выражать силу $F$ через интеграл по объему $W$.
Применяя формулу Стокса находим

$$F=\int_W\frac{\partial}{\partial x^k}\Big(\sqrt g p^{ik}e_i\Big)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3=\int_W(\nabla_kp^{ik})\sqrt g e_idx^1\wedge dx^2\wedge dx^3.$$

Здесь существенно используется факт существования евклидовых координат в которых $g_{ij}=\delta_{ij} $ и формулы

$$\frac{\partial}{\partial x^k}\sqrt g=\Gamma^n_{nk}\sqrt g,\quad \frac{\partial}{\partial x^k}e_i=\Gamma^s_{ik}e_s$$

[Munin]

Какие претензии ко введению тензора напряжений в ЛЛ-7?

(Оффтоп)

(Я гляжу, вы чуть ли не единственный фанатик учебника Седова на форуме...)

Oleg Zubelevich в сообщении #875614 писал(а):

тензор напряжений является аксиальным тензором

С точки зрения физической интуиции это неудобно. Допустим, тензор напряжений является всесторонним сжатием. Инвертируем систему координат. Всестороннее сжатие осталось всесторонним сжатием, так что и тензор напряжений желательно оставить с прежним знаком.

-- 15.06.2014 14:00:43 --

P. S. Тензор деформаций, вроде бы, является истинным (в смысле, не аксиальным), и определение тензора напряжений удобно согласовывать с тензором деформаций так, чтобы они имели компоненты одного знака.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #875619 писал(а):

тензор напряжений желательно оставить с прежним знаком.

тогда направление силы , действующей на объем будет зависить от ориентации системы координат

[Munin]

Сила действует не на объём, а на площадь (площадку). А чтобы найти силу, действующую на объём, необходимо применить ещё дифференцирование, потому что если тензор напряжения константа, то на объём никаких сил не действует - среда в равновесии.

[Oleg Zubelevich]

да, это принципиальное замечание, должен быть такой текст:

Постулируем, что сила, действующая на любую часть $\Sigma\subseteq\partial W$со стороны объемлющей (внешней по отношению к $W$) среды, вычисляется с помощью тензора $p^{ij}(x),\quad x\in D$ по формуле

$$F=\int_{\Sigma}p^{ij}\sqrt g\epsilon_{jkn}e_i\otimes dx^k\otimes dx^n$$

$$=\int_{\Sigma}\sqrt ge_i\otimes \big(p^{i1} dx^2\wedge dx^3+p^{i2} dx^3\wedge dx^1+p^{i3} dx^1\wedge dx^2\big).$$

Причем ориентация $\Sigma$ согласована с ориентацией $W$.

По-моему это только проявляет аксиальность.

[Munin]

Давайте посмотрим.

В векторной алгебре принято сравнивать направление силы с направлением нормали площадки. Если сила сонаправлена с нормалью - это натяжение, если противонаправлена - это давление (я полагаю нормаль смотрящей "наружу" из элементарного объёма).

В внешней алгебре ориентация площадки задаётся не нормалью, а бивектором - упорядоченной парой касательных векторов. И вот тут кроется звёздочка Ходжа, которая сопоставляет бивектору площадки вектор нормали. (Я не различаю векторы и ковекторы, наше пространство снабжено скалярным произведением.)

Сила, конечно же, истинный вектор. Например, она может быть измерена динамометром, и может ускорить пробную частицу (направление смещения динамометра и направление ускорения частицы будут истинными векторами). Вектор нормали площадки - тоже истинный вектор. Остаётся считать, что при инверсии пространства меняется звёздочка Ходжа - или всё ваше определение надо умножить "руками" на $(-1)^{\sigma},$ где $\sigma$ указывает ориентацию системы координат. Это, разумеется, сделает тензор истинным, не аксиальным.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #875658 писал(а):

Вектор нормали площадки - тоже истинный вектор.

вектор внешней нормали может быть согласован с ориентацией поверхности , а может не быть с ней согласован , это влияет на знак интеграла $\int_\Sigma$,

Munin в сообщении #875658 писал(а):

Остаётся считать, что при инверсии пространства меняется звёздочка Ходжа

так и есть.

Munin в сообщении #875658 писал(а):

или всё ваше определение

это не мое определение, это формальная запись определения из Седова (в ЛЛ-7 определение, по сути, такое же как у Седова)

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #875668 писал(а):

так и есть.

Меняется в том смысле, что для того же бивектора (инверсия не меняет бивектора) будет то же направление нормали (наружу из элементарного объёма).

-- 15.06.2014 16:07:31 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875668 писал(а):

вектор внешней нормали может быть согласован с ориентацией поверхности , а может не быть с ней согласован

Логично. Но в любом случае, знак тензора напряжений должен быть согласован с вектором внешней нормали.

-- 15.06.2014 16:08:36 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875668 писал(а):

это не мое определение, это формальная запись определения из Седова (в ЛЛ-7 определение, по сути, такое же как у Седова)

Тот итог, что тензор напряжений аксиальный, кажется, расходится с тем, что написано в ЛЛ-7. Где-то по дороге знак потерялся.

[Oleg Zubelevich]

тут у Вас сторонник появился

http://mathoverflow.net/questions/17187 ... udo-tensor

но меня это пока не убеждает, буду думать

-- Вс июн 15, 2014 17:44:55 --

тему в дискуссионный раздел надо перенести

[Munin]

Перечитал ЛЛ-7. Там логика всё-таки в другую сторону, но вы правы: из выражения $\int\mathbf{F}\,dV$ следует, что сила $\mathbf{F},$ действующая на единицу объёма, меняет знак вместе с самим объёмом. Получается, и тензор напряжений, вводимый (2.1) $F_i=\partial\sigma_{ik}/\partial x_k,$ тоже аксиальный. Я просто об этом не задумывался...

Сильно непривычно.

-- 15.06.2014 18:49:48 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875714 писал(а):

тут у Вас сторонник появился

http://mathoverflow.net/questions/17187 ... udo-tensor

Я на МathOverflow не зарегистрирован, а то бы выступил в вашу пользу. Да и вообще, там, вроде, community математиков, что я буду лезть. Без меня разберутся.

Oleg Zubelevich в сообщении #875714 писал(а):

тему в дискуссионный раздел надо перенести

С учётом того, что я разобрался, думаю, в дискуссионный не стоит. В "Вопросах преподавания" или максимум в "Помогите решить/разобраться (Ф)" ей самое место.

-- 15.06.2014 18:57:08 --

Для разговора там потребуется копия
L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Theory of Elasticity. Vol. 7.
а у меня нет. Пошёл искать.

-- 15.06.2014 19:07:56 --

Хм. Аргументы Crowell-а тоже здравы (про ОТО).

[Oleg Zubelevich]

я еще вот что надумал. Мы должны проинтегрировать по поверхности нечто и получить вектор. Значит интегрировать мы должны векторнозначную 2-форму: $\sum_{j<k}\omega^i_{jk}dx^j\wedge dx^k$
Тензор $\omega^i_{jk}$ по нижним индексам кососимметричен, следовательно он определяется 9 числами. Значит мы можем поставить в соответствие этому тензору квадратную матрицу, она и есть тензор напряжений, соответствие аксиальное. Это подобно тому, как мы ставим аксиальный вектор в соответствие 2-форме. Ну никак у меня не получается без аксиальности.

[Munin]

Ландафшиц по-английски: вот официально выложенное издание 1970 года: https://archive.org/details/TheoryOfElasticity

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #875731 писал(а):

Мы должны проинтегрировать по поверхности нечто и получить вектор.

А кстати, нет. Сила - ковектор. Потому что она градиент потенциала. Так что опускайте индекс вниз, раз уж вы верхние и нижние различаете :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #875731 писал(а):

Значит мы можем поставить в соответствие этому тензору квадратную матрицу

Вот это место какое-то мутное, индексы играют разные роли в матрице, а должно получиться что-то симметрическое. Но может, у меня просто голова уже не варит.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #875751 писал(а):

Так что опускайте индекс вниз, раз уж вы верхние и нижние различаете

а это ничего не меняет

Munin в сообщении #875751 писал(а):

должно получиться что-то симметрическое

вообще говоря, не должно

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #875753 писал(а):

вообще говоря, не должно

Ну тензор напряжений же симметрический. Тут мы просто можем подглядывать в ответ.