2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение13.06.2014, 20:36 
Аватара пользователя


13/06/14
17
Величины углов треугольника относятся как $1 : 2 : 4$. Докажите, что меньшая сторона треугольника равна половине среднего гармонического двух других сторон.

Вроде, не должна быть сложная, но я уже несколько дней пытаюсь решить. Не получается.

Как я решал.
Пусть в треугольнике ABC $\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 4$. Я провел биссектрисы BD и CE. Теперь понимаю, что нужно воспользоваться подобием треугольников. Но не получается выразить сторону. Может быть, нужно ещё дополнительное построение?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.06.2014, 20:37 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения задачи и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.06.2014, 03:56 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 04:58 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Теорему синусов пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 05:21 
Аватара пользователя


13/06/14
17
Otta в сообщении #875244 писал(а):
Теорему синусов пробовали?


нет, это задача за 8 класс, поэтому я пытаюсь её решить без тригонометрии

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Да проставьте ж вы все углы на рисунке, не стесняйтесь! Ведь $7\alpha=\pi$
Как только проставите, так сразу полезет море подобных треугольников. Лично я насчитал одну тройку попарно подобных между собой и одну отдельную от них пару. Итого 4 пары треугольников, из которых 3 пары независимые, а это 6 потенциально полезных соотношений подобия сторон.
Если этого вам не хватит для вывода требуемого - используйте известную теорему о биссектрисе (о том, как она делит сторону), она даст ещё две связи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 15:28 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):
Итого 4 пары треугольников, из которых 3 пары независимые, а это 6 потенциально полезных соотношений подобия сторон.
Если этого вам не хватит для вывода требуемого - используйте известную теорему о биссектрисе (о том, как она делит сторону), она даст ещё две связи.
Похоже, здесь без удачи не обойтись. Довольно легко выразить $a$ через $b$ и $c$ как-то (все эти числа кубические иррациональности, поэтому соотношений между ними много). Но в задаче требуется найти специальное выражение --- через среднее гармоническое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 15:50 


05/09/12
2587
Подумал - неужели такая сложная задачка, что удача нужна? Решается за пять минут, только через подобия, на уровне восьмого класса, никакой тригонометрии. Подозреваю, что мое решение еще и не оптимально.

ЗЫ у меня сын как раз восьмой класс закончил, надо будет ему подкинуть :-)

-- 14.06.2014, 15:59 --

Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):
Да проставьте ж вы все углы на рисунке, не стесняйтесь! Ведь $7\alpha=\pi$
А вот это, имхо, вредно. Есть задачи, в которых конкретные цифры важны (например, катет напротив 30 градусов равен половине гипотенузы и т.п. выводы), но хорошо бы чувствовать, когда до цифр лучше не опускаться и решать "в буквах".

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 16:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
_Ivana в сообщении #875355 писал(а):
Решается за пять минут, только через подобия, на уровне восьмого класса, никакой тригонометрии.
Я так и делал, но получил соотношение $a=(c^2-b^2)/b$. А надо $a=bc/(b+c)$. Мне не повезло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
_Ivana в сообщении #875355 писал(а):
Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):
Да проставьте ж вы все углы на рисунке, не стесняйтесь! Ведь $7\alpha=\pi$
А вот это, имхо, вредно. Есть задачи, в которых конкретные цифры важны (например, катет напротив 30 градусов равен половине гипотенузы и т.п. выводы), но хорошо бы чувствовать, когда до цифр лучше не опускаться и решать "в буквах".
Ну конечно же я имел в виду проставить в альфах. $\alpha, 2\alpha, 3\alpha, 4\alpha$ и даже один угол в $5\alpha$.
Но без знания того, что $7\alpha = \pi$ все эти углы не проставить. Откуда я знаю, сообразил ли например ТС, что углы в точке пересечения биссектрисс - это $3\alpha$ и $4\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 19:53 
Аватара пользователя


13/06/14
17
nnosipov в сообщении #875361 писал(а):
_Ivana в сообщении #875355 писал(а):
Решается за пять минут, только через подобия, на уровне восьмого класса, никакой тригонометрии.
Я так и делал, но получил соотношение $a=(c^2-b^2)/b$. А надо $a=bc/(b+c)$. Мне не повезло.


Вот и я получаю разные соотношения, но все они отличаются от нужного...

-- 14.06.2014, 20:58 --

Legioner93 в сообщении #875366 писал(а):
_Ivana в сообщении #875355 писал(а):
Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):
Да проставьте ж вы все углы на рисунке, не стесняйтесь! Ведь $7\alpha=\pi$
А вот это, имхо, вредно. Есть задачи, в которых конкретные цифры важны (например, катет напротив 30 градусов равен половине гипотенузы и т.п. выводы), но хорошо бы чувствовать, когда до цифр лучше не опускаться и решать "в буквах".
Ну конечно же я имел в виду проставить в альфах. $\alpha, 2\alpha, 3\alpha, 4\alpha$ и даже один угол в $5\alpha$.
Но без знания того, что $7\alpha = \pi$ все эти углы не проставить. Откуда я знаю, сообразил ли например ТС, что углы в точке пересечения биссектрисс - это $3\alpha$ и $4\alpha$.


Это очевидно же, нет? Просто мне это ничего не дало, вот я и не стал их отмечать, чтобы не путать лишний раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):
Лично я насчитал одну тройку попарно подобных между собой

Четвёрку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 20:08 


05/09/12
2587
Ну, раз такое дело, давайте подсказывать. В моих обозначениях $a$ - бОльшая сторона, $b$ - средняя, $c$ - меньшая. Для начала можно получить соотношение $$a^2-b^2 = bc \eqno (1)$$, что и получили участники выше, когда им "не повезло". Но если не останавливаться на достигнутом, то аналогичным же образом можем получить соотношение $$b^2-c^2 = ac \eqno (2)$$. И не аналогичным, а другим образом (мне над этим моментом пришлось подумать подольше), но тоже из построений и соотношений подобия, можем получить третье соотношение $$a^2-c^2 = ab \eqno (3)$$ Далее чистая алгебра - $$(1) + (2) - (3) = 0$$, откуда тут же следует ответ.

ЗЫ очень подозреваю, что есть решение короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 20:36 
Аватара пользователя


13/06/14
17
_Ivana в сообщении #875430 писал(а):
И не аналогичным, а другим образом (мне над этим моментом пришлось подумать подольше), но тоже из построений и соотношений подобия, можем получить третье соотношение $$a^2-c^2 = ab (3)$$


Не могли бы Вы рассказать/подсказать, как получить третье соотношение? Мне очень интересно, но я уже сдался. Если бы не сдался, то не выложил бы условие сюда :)

Вообще, это задача из книги "Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики" В.Ф .Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк,... №351.

(Мне в этой книге уже встречалась задача за 7 класс, которую я не мог решить. Спрашивал у некоторых преподавателей с матфака, но и у них не получалось. Спустя год, я всё-таки узнал, как её можно решить. Если интересно, то могу выложить условие.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее гармоническое (планиметрия)
Сообщение14.06.2014, 20:43 


05/09/12
2587
Подсказываю уже совсем до неприличия - проведите из вершины тупого угла треугольника луч, делящий этот угол в соотношении 1:3, меньший угол образуется с меньшей стороной исходного треугольника. Посмотрите, подумайте. Можете выложить сюда чертеж.

ЗЫ с другой вашей задачей вы в принципе могли бы слукавить и не сказать, что вам известно ее решение, и так же выложить :-) Так что выкладывайте уж.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group