Среднее гармоническое (планиметрия)

[Ivan P]

Величины углов треугольника относятся как $1 : 2 : 4$. Докажите, что меньшая сторона треугольника равна половине среднего гармонического двух других сторон.

Вроде, не должна быть сложная, но я уже несколько дней пытаюсь решить. Не получается.

Как я решал.
Пусть в треугольнике ABC $\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 4$. Я провел биссектрисы BD и CE. Теперь понимаю, что нужно воспользоваться подобием треугольников. Но не получается выразить сторону. Может быть, нужно ещё дополнительное построение?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения задачи и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Otta]

Теорему синусов пробовали?

[Ivan P]

Otta в сообщении #875244 писал(а):

Теорему синусов пробовали?

нет, это задача за 8 класс, поэтому я пытаюсь её решить без тригонометрии

[Legioner93]

Да проставьте ж вы все углы на рисунке, не стесняйтесь! Ведь $7\alpha=\pi$
Как только проставите, так сразу полезет море подобных треугольников. Лично я насчитал одну тройку попарно подобных между собой и одну отдельную от них пару. Итого 4 пары треугольников, из которых 3 пары независимые, а это 6 потенциально полезных соотношений подобия сторон.
Если этого вам не хватит для вывода требуемого - используйте известную теорему о биссектрисе (о том, как она делит сторону), она даст ещё две связи.

[nnosipov]

Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):

Итого 4 пары треугольников, из которых 3 пары независимые, а это 6 потенциально полезных соотношений подобия сторон.
Если этого вам не хватит для вывода требуемого - используйте известную теорему о биссектрисе (о том, как она делит сторону), она даст ещё две связи.

Похоже, здесь без удачи не обойтись. Довольно легко выразить $a$ через $b$ и $c$ как-то (все эти числа кубические иррациональности, поэтому соотношений между ними много). Но в задаче требуется найти специальное выражение --- через среднее гармоническое.

[_Ivana]

Подумал - неужели такая сложная задачка, что удача нужна? Решается за пять минут, только через подобия, на уровне восьмого класса, никакой тригонометрии. Подозреваю, что мое решение еще и не оптимально.

ЗЫ у меня сын как раз восьмой класс закончил, надо будет ему подкинуть

-- 14.06.2014, 15:59 --

Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):

Да проставьте ж вы все углы на рисунке, не стесняйтесь! Ведь $7\alpha=\pi$

А вот это, имхо, вредно. Есть задачи, в которых конкретные цифры важны (например, катет напротив 30 градусов равен половине гипотенузы и т.п. выводы), но хорошо бы чувствовать, когда до цифр лучше не опускаться и решать "в буквах".

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #875355 писал(а):

Решается за пять минут, только через подобия, на уровне восьмого класса, никакой тригонометрии.

Я так и делал, но получил соотношение $a=(c^2-b^2)/b$. А надо $a=bc/(b+c)$. Мне не повезло.

[Legioner93]

_Ivana в сообщении #875355 писал(а):

Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):

Да проставьте ж вы все углы на рисунке, не стесняйтесь! Ведь $7\alpha=\pi$

А вот это, имхо, вредно. Есть задачи, в которых конкретные цифры важны (например, катет напротив 30 градусов равен половине гипотенузы и т.п. выводы), но хорошо бы чувствовать, когда до цифр лучше не опускаться и решать "в буквах".

Ну конечно же я имел в виду проставить в альфах. $\alpha, 2\alpha, 3\alpha, 4\alpha$ и даже один угол в $5\alpha$.
Но без знания того, что $7\alpha = \pi$ все эти углы не проставить. Откуда я знаю, сообразил ли например ТС, что углы в точке пересечения биссектрисс - это $3\alpha$ и $4\alpha$.

[Ivan P]

nnosipov в сообщении #875361 писал(а):

_Ivana в сообщении #875355 писал(а):

Решается за пять минут, только через подобия, на уровне восьмого класса, никакой тригонометрии.

Я так и делал, но получил соотношение $a=(c^2-b^2)/b$. А надо $a=bc/(b+c)$. Мне не повезло.

Вот и я получаю разные соотношения, но все они отличаются от нужного...

-- 14.06.2014, 20:58 --

Legioner93 в сообщении #875366 писал(а):

_Ivana в сообщении #875355 писал(а):

Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):

Да проставьте ж вы все углы на рисунке, не стесняйтесь! Ведь $7\alpha=\pi$

А вот это, имхо, вредно. Есть задачи, в которых конкретные цифры важны (например, катет напротив 30 градусов равен половине гипотенузы и т.п. выводы), но хорошо бы чувствовать, когда до цифр лучше не опускаться и решать "в буквах".

Ну конечно же я имел в виду проставить в альфах. $\alpha, 2\alpha, 3\alpha, 4\alpha$ и даже один угол в $5\alpha$.
Но без знания того, что $7\alpha = \pi$ все эти углы не проставить. Откуда я знаю, сообразил ли например ТС, что углы в точке пересечения биссектрисс - это $3\alpha$ и $4\alpha$.

Это очевидно же, нет? Просто мне это ничего не дало, вот я и не стал их отмечать, чтобы не путать лишний раз.

[Munin]

(Оффтоп)

Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):

Лично я насчитал одну тройку попарно подобных между собой

Четвёрку.

[_Ivana]

Ну, раз такое дело, давайте подсказывать. В моих обозначениях $a$ - бОльшая сторона, $b$ - средняя, $c$ - меньшая. Для начала можно получить соотношение

$$a^2-b^2 = bc \eqno (1)$$

, что и получили участники выше, когда им "не повезло". Но если не останавливаться на достигнутом, то аналогичным же образом можем получить соотношение

$$b^2-c^2 = ac \eqno (2)$$

. И не аналогичным, а другим образом (мне над этим моментом пришлось подумать подольше), но тоже из построений и соотношений подобия, можем получить третье соотношение

$$a^2-c^2 = ab \eqno (3)$$

Далее чистая алгебра -

$$(1) + (2) - (3) = 0$$

, откуда тут же следует ответ.

ЗЫ очень подозреваю, что есть решение короче.

[Ivan P]

_Ivana в сообщении #875430 писал(а):

И не аналогичным, а другим образом (мне над этим моментом пришлось подумать подольше), но тоже из построений и соотношений подобия, можем получить третье соотношение

$$a^2-c^2 = ab (3)$$

Не могли бы Вы рассказать/подсказать, как получить третье соотношение? Мне очень интересно, но я уже сдался. Если бы не сдался, то не выложил бы условие сюда :)

Вообще, это задача из книги "Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики" В.Ф .Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк,... №351.

(Мне в этой книге уже встречалась задача за 7 класс, которую я не мог решить. Спрашивал у некоторых преподавателей с матфака, но и у них не получалось. Спустя год, я всё-таки узнал, как её можно решить. Если интересно, то могу выложить условие.)

[_Ivana]

Подсказываю уже совсем до неприличия - проведите из вершины тупого угла треугольника луч, делящий этот угол в соотношении 1:3, меньший угол образуется с меньшей стороной исходного треугольника. Посмотрите, подумайте. Можете выложить сюда чертеж.

ЗЫ с другой вашей задачей вы в принципе могли бы слукавить и не сказать, что вам известно ее решение, и так же выложить Так что выкладывайте уж.