Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #874076 писал(а):

mishafromusa
: я Вас понял. так вроде-бы действительно можно строить анализ до какого-то предела. Получится самозамкнутая теория. И это упрощает рассуждения.

Вы меня осчастливили, хотя бы кто-то понял

-- 10.06.2014, 15:32 --

Munin в сообщении #874145 писал(а):

Например, есть же нестандартный анализ.

Ну вот это-то точно абстракция, да такая, которой и производая в подмётки не годится!

-- 10.06.2014, 15:37 --

ex-math в сообщении #874161 писал(а):

Вам не кажется, что Вы недостаточно обо мне знаете, чтобы делать такие заявления?

Кажется, но никакого желания узнать о Вас больше у меня нет. Извините если обидел.

[ex-math]

(Оффтоп)

mishafromusa
В этом месте Вам следовало бы извиниться вместо того, чтобы продолжать балансировать на грани хамства

[Munin]

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Ну Вы замучаетесь следить в теоретической части, почему операции не будут выводить из класса.

Нам всего-то две операции надо посмотреть: дифференцирование и интегрирование. И мы сможем сказать "вот там математики на 18 страницах доказали, будем это использовать" :-)

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Кроме того, в данной ситуации mishafromusa скорее должен доказывать, что получится проще.

В этом есть point.

Хотя, вот просто на первый взгляд, слова, которые он написал в своём PDF, выглядят просто и понятно для физика. Ну, я уже учёный, так что по мне судить нельзя :-)

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Это не график функции.

Меня заломало гуглить, как называется аналогично строящаяся функция: на каждом отрезке прибавляется по "уголку" уменьшающейся высоты. В общем, она непрерывна, но у неё доводольно плохо с дифференцируемостью и с рисованием графика рукой мелом.

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Да, но кривая мелом на доске концептуально гораздо ближе к произвольной непрерывной функции, чем к многочленам или синусам.

Ближе, но всё же точно не попадает. И можно поинтересоваться, нельзя ли извлечь из этого профит.

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Ну это, разумеется, важная причина. Я не хотел в качестве аргумента говорить "классический анализ зарекомендовал себя в математической физике", потому что меня сразу обзовут конформистом и ретроградом.

LOL

Я же про другое: прошлые заслуги не в счёт. Матаппарат должен продолжать себя хорошо зарекомендовывать. Иначе он попадёт в отстающие, как теория конических сечений, например, и навсегда увязнет вместе со старыми, необщими теориями, сохраняющимися только как упрощения и приближения.

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Нестандартный анализ не так плох

Я его упомянул только как пример, что нет гарантии, что стандартный путь the best в плане сочетания названных отдельных достоинств. Я его даже обсуждать не хочу.

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Кому-то проще, говоря об очень большом, представлять бесконечный.

А кому-то, наоборот, проще, говоря о бесконечном, представлять себе очень большой.

Кстати, хороший тест получился на тип мышления "физик-математик" :-)

ex-math в сообщении #874161 писал(а):

КМК, связь между понятиями прочерчивается идеей доказательства.

КМК, далеко не всегда. И это в лучшем случае относится к "идейным" доказательствам. А матанализ в области эпсилон-дельта полон как раз "скучно-технических" доказательств. "Идеализация" которых возможна, но антипедагогична: требует вставить курс общей топологии перед курсом матанализа :-)

ex-math в сообщении #874161 писал(а):

И однозначно нужны контрпримеры, желательно со ссылкой на доказательство (почему не проходит, что мешает, чего не хватает). Только определения, формулировки и примеры не дадут глубокого понимания.

Ну, тут я не спорю, что вместе с примерами нужны контрпримеры.

Но меня интересует другое: как только примеры и/или контрпримеры перестают быть интуитивно понятны, это значит, что и сами понятия оказались как-то не те. Желательно, чтобы понятия были настолько просты, чтобы примеры и контрпримеры автоматически генерировались у студента, даже не мозгом, а где-то поджелудочной железой.

-- 11.06.2014 00:58:37 --

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #874171 писал(а):

В этом месте Вам следовало бы извиниться вместо того, чтобы продолжать балансировать на грани хамства

+1.

mishafromusa, вас заносит. Мы здесь собрались поговорить о том, что всем интересно, а не морды друг другу набить.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Ну Вы замучаетесь следить в теоретической части, почему операции не будут выводить из класса. А если Вы за этим следить не будете, то какая разница, в каком классе были изначальные функции?

О каких операциях идёт речь?

-- 11.06.2014, 06:13 --

g______d в сообщении #874160 писал(а):

Кроме того, в данной ситуации mishafromusa скорее должен доказывать, что получится проще. Пока не наблюдается.

Это зависит от наблюдателя

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874254 писал(а):

О каких операциях идёт речь?

Ну я изначально имел в виду не это, но, тем не менее: композиция непрерывных функций непрерывна; обратная к взаимно однозначной (т. е. монотонной) непрерывной функции непрерывна. Тоже будете говорить, что определение монотонной функции слишком абстрактно и надо вводить какую-нибудь гёльдерову монотонность?

[Munin]

g______d в сообщении #874322 писал(а):

Тоже будете говорить, что определение монотонной функции слишком абстрактно и надо вводить какую-нибудь гёльдерову монотонность?

А вы всякую монотонную непрерывную функцию можете на доске мелом нарисовать?

[g______d]

Я и гладкую не любую нарисую. Если говорить о контрпримерах, любое замкнутое множество может быть множеством нулей бесконечно гладкой функции (хотя и не монотонной). Для монотонной можно сделать множеством нулей производной. Речь не о том, а о том, что непрерывность — базовое понятие, и суррогатами его заменять нехорошо.

[ex-math]

Munin в сообщении #874179 писал(а):

матанализ в области эпсилон-дельта полон как раз "скучно-технических" доказательств. "Идеализация" которых ... требует вставить курс общей топологии перед курсом матанализа

В области эпсилон-дельта доказательства легко визуализируются с помощью рисования интервалов на числовой прямой. Я говорю о теоремах типа единственности предела, сохранения знака, перехода к пределу в неравенствах. Как раз студентами-нематематиками такая "наивная топология" воспринимается очень хорошо. Имея в голове такую картинку и минимум грамотности, все эпсилон-дельта расписываются довольно легко (скажем, вопрос "почему здесь выбрали такое эпсилон?" уже не возникает).

Munin в сообщении #874179 писал(а):

Но меня интересует другое: как только примеры и/или контрпримеры перестают быть интуитивно понятны, это значит, что и сами понятия оказались как-то не те. Желательно, чтобы понятия были настолько просты, чтобы примеры и контрпримеры автоматически генерировались у студента, даже не мозгом, а где-то поджелудочной железой.

Совсем автоматически не получится. Чтобы генерировались поджелудочной, надо все-таки показать как это делается и дать поупражняться. В результате из обыденной интуиции должна постепенно развиться математическая. Тогда и снежинку Коха можно будет показывать без ущерба для здоровья :)

[Munin]

g______d в сообщении #874378 писал(а):

Речь не о том, а о том, что непрерывность — базовое понятие, и суррогатами его заменять нехорошо.

Вот вы твердите "базовое", "базовое", а что за этим стоит-то? Наверное, вы в курсе, что в любой теории можно переформулировать аксиоматику так, что старые аксиомы станут доказываемыми теоремами, а какие-то старые теоремы - аксиомами. (Здесь "теорема" в смысле не "теорема, не совпадающая с аксиомой".)

ex-math в сообщении #874394 писал(а):

В области эпсилон-дельта доказательства легко визуализируются с помощью рисования интервалов на числовой прямой.

Чур нас, чур. Это не идейность.

ex-math в сообщении #874394 писал(а):

Как раз студентами-нематематиками такая "наивная топология" воспринимается очень хорошо.

Может, и хорошо, но долго. Сами преподаватели математики говорят.

ex-math в сообщении #874394 писал(а):

Совсем автоматически не получится.

Я согласен на не совсем, лишь бы достичь существенного прогресса по сравнению с тем, что есть.

[g______d]

Munin в сообщении #874404 писал(а):

Вот вы твердите "базовое", "базовое", а что за этим стоит-то?

За этим стоит то общее, что было у большого количества идей до этого. Вы наверняка знаете много способов определить непрерывность, начиная "близкие точки должны переводиться в близкие" и заканчивая "прообраз открытого открыт."

Munin в сообщении #874404 писал(а):

Наверное, вы в курсе, что в любой теории можно переформулировать аксиоматику так, что старые аксиомы станут доказываемыми теоремами, а какие-то старые теоремы - аксиомами.

В данном случае речь не об аксиомах, а об определениях. Хотя это не важно.

Я не понимаю, это вопрос вообще или по конкретной теории, обсуждаемой здесь. На замену непрерывности она не тянет, потому что является как раз одной из тех вещей, из которых после выкидывания лишнего останется непрерывность.

[Munin]

g______d в сообщении #874405 писал(а):

За этим стоит то общее, что было у большого количества идей до этого.

Неформально, но понятно. Спасибо.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #874406 писал(а):

Неформально, но понятно. Спасибо.

Munin, я вижу, что Вы наконец начинаете проникаться мудрыми идеями эпсилонизма-дельтоизма, светлое будущее под солнцем ультрафильтра не за горами! Да здравствует всеобъемлющая непрерывность! Смерть предателям! Позор отщепенцам! Слава смелым защитникам нащих идей! Не допустим тлетворного влияния! Не позволим врагам остановить нашего неуклонного стремления к пределам! Сохраним на века чистоту нашей науки! Ура! Ура! Ура!

[g______d]

Я периодически слышу про вред эпсилонизма-дельтоизма, но совершенно в другом контексте (и не разделяю): что это жуткая второкультурщина и надо всех учить сначала топологии.

А вообще, mishafromusa, не ожидал перехода дискуссии на такой уровень. Вы так растеряете и тех читателей, которым Ваши идеи могут понравиться. Впрочем, подозреваю, что это не первый форум, где такое происходит и который удостаивается подобных высказываний с Вашей стороны.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874419 писал(а):

Впрочем, подозреваю, что это не первый форум

Да, я что-то припоминаю... И возражение о том, что модуль непрерывности обратной функции может быть хуже, чем модуль непрерывности самой функции, мне тоже о чём-то напоминает.. Мне кажется, что мы где-то уже встречались... Кстати, с дифференцированием и интегрированием, в отличии от классического подхода, у меня всё в порядке, модуль непрерывности при интегрировании становится половиной модуля дифференцируемости, и наоборт, модуль непрерывности производной в 2 раза больше модуля дифференцируемости функции, которую дифференцируют. И доказывается это не на 18 страницях, как подозревал Munin, а от силы на одной. Но почему-то это никого не прельщает. Все беспокоятся, что узнав про модули непрерывности, ученики уже никогда не смогут освоить эпсилонов и дельт. Вы никогра не задумывались, почему все употребляют одни и те же греческие буквы при определинии предела и непрерывности? По-моему это унылая печать зубрёжки. Что касается моей перепалки с ex-math, то его замечания с самого начала были пренебрежительными и по отношению ко мне, и по отношению к студентам, и терпеть его высокомерия я не намерен.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874421 писал(а):

Мне кажется, что мы где-то уже встречались...

Вряд ли. Хотя в какой-то момент нашей дискуссии (пару дней назад) я провел поиск подобной темы на mathoverflow, это да.

mishafromusa в сообщении #874421 писал(а):

модуль непрерывности при интегрировании становится половиной модуля дифференцируемости, и наоборт, модуль непрерывности производной в 2 раза больше модуля дифференцируемости функции, которую дифференцируют.

Вот этого я совсем не понимаю. Любую функцию из Вашего класса, что ли, можно бесконечно много раз дифференцировать?

mishafromusa в сообщении #874421 писал(а):

И возражение о том, что модуль непрерывности обратной функции может быть хуже, чем модуль непрерывности самой функции, мне тоже о чём-то напоминает..

Как раз это я, признаю, написал после прочтения интернета. У меня все-таки в голове не укладывается, чем Вам так не угодила обычная непрерывность.

mishafromusa в сообщении #874421 писал(а):

Но почему-то это никого не прельщает. Все беспокоятся, что узнав про модули непрерывности, ученики уже никогда не смогут освоить эпсилонов и дельт.

Ну а что, Вы им, что ли, про $\varepsilon$ и $\delta$ рассказывать будете? Небось ведь после своего введения пойдете по тривиуму Арнольда или подобному задачнику и будете задачи оттуда решать с помощью чашечки и шарика. Я лично действительно боюсь, что Вы вместо нормального изложения теории пойдете по местам, которые с целью развлечения можно изложить на пальцах. А царского пути в математику нет.

mishafromusa в сообщении #874421 писал(а):

Вы никогра не задумывались, почему все употребляют одни и те же греческие буквы при определинии предела и непрерывности? По-моему это унылая печать зубрёжки.

Когда в сложном техническом доказательстве автор хотя бы старается использовать стандартные обозначения, это как минимум удобнее для читателя.

-- Ср, 11 июн 2014 18:32:24 --

mishafromusa в сообщении #874421 писал(а):

его замечания с самого начала были пренебрежительными и по отношению ко мне, и по отношению к студентам

Ну в Ваших словах я тоже постоянно читаю между строк, что студенты тупые и не могут понять определения предела.