интеграл Стилтьеса

[loshka]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста как подсчитать 2 интеграла Стилтьеса

$$\int_{-\pi}^{\pi} (x+2) d(sign\sin x)$$

$$\int_{0}^{20} x d[\cos x]$$

где [x]-целая часть от числа


Как-то я очень плохо понимаю,как сие штуки решать, так что мыслей довольно мало

1)Как я понял нужно посчитать интеграл Римана и прибавить к нему предел справа минус предел слева скачка умноженное на значения аргумента функции в которых будет скачок

Тогда взять интеграл по частям без sign, скачок будет в точке 0 поэтому к значению интеграла ничего прибавлять не надо, сам интеграл равен 0, значит и ответ 0?

2) разрывы в точках $\frac{(2n+1)\pi}{2}$

интеграл равен $\sin(20)-20\cos(20)+(-\pi+3\pi-5\pi+7\pi-9\pi+11\pi-13\pi)=\sin(20)-20\cos(20)-7\pi$

Подскажите пожалуйста, что я делаю не правильно?

[Otta]

loshka в сообщении #873214 писал(а):

скачок будет в точке 0 поэтому к значению интеграла ничего прибавлять не надо,

Почему не надо?

loshka в сообщении #873214 писал(а):

Подскажите пожалуйста, что я делаю не правильно?

Вы неверно помните формулу для вычисления интеграла по дискретной мере. Иными словами, как считать интеграл $\int_a^b f(x)dF(x)$ в точках разрыва $F$.

[loshka]

прочитал в Фихтенгольце, понял свою ошибку, вопрос только остается насчет того как считать интеграл Римана, забыть про sign? и про взятие целой части от числа?

[Otta]

Какой интеграл Римана? Ну по-любому в Колмогорове все есть. В Фихтенгольце, насколько я помню, нет Лебега-Стилтьеса, только Риман-Стилтьес. Большой разницы тут не будет, но все же.

[loshka]

в Фихтенгольце написано просто интеграл Стилтьеса, просто я не понимаю, как считать интеграл с $sign$ ?

[Otta]

loshka в сообщении #873296 писал(а):

в Фихтенгольце написано просто интеграл Стилтьеса, просто я не понимаю, как считать интеграл с $sign$ ?

Ну вот то, что в Фихтенгольце - это Риман-Стилтьес.
Ну как, формулы-то там есть какие-то? Какие? Про скачок мы все выяснили, а если функция $F$ "хорошая"? $F(x)=x^2$, например?

[loshka]

то просто производную взять от нее и интегрировать,как обычный интеграл Римана

[Otta]

Ну. А тут Вам что мешает?

[loshka]

не умею брать интегралы от функции где есть $sign$ или еще хуже дробная часть от числа

[Otta]

А интегралы-то Вам зачем от него брать? Вы от $x^2$ интеграл разве брали? Напишите нормально производящую функцию меры, чему и где она равна, сигнум этот Ваш, нарисуйте график, думайте дальше. Это слишком просто, чтобы еще и рассказывать.

[loshka]

$$\int_{-\pi}^{\pi } (x+2) dsign\sin x = \int_{-\pi}^{\pi } (x+2)sign(\sin x) \cos x + (здесь считаю точки разрыва) $$

не могу посчитать интеграл, правильно ли я понимаю, что он равен 0?)

[Otta]

loshka
Вот Вы какой-то ерундой занимаетесь, простите меня, ей-богу. Кто ж так дифференцирует?
Еще раз, чему равен сигнум синуса? Вообще сигнум - это что такое?

[loshka]

эм, сигнум функция при отрицательном аргументе равна -1 при нуле 0 при положительном 1
сигнум синуса это отрезочки длиной $\pi/2$
Первый раз просто сталкиваюсь с тем что бы дифференцировать сигнум
$sgn(\sin x)'=0$ ?

[Otta]

loshka в сообщении #873344 писал(а):

сигнум синуса это отрезочки длиной $\pi/2$

Почему $\pi/2$?

loshka в сообщении #873344 писал(а):

$sgn(\sin x)'=0$ ?

Там, где она существует, разумеется. Кусочно-постоянная функция же ж.

[loshka]

$\pi$ вернее длина у них


а во втором интеграле, что делать с целой частью при дифференцирование косинуса?