2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 18:09 
Здравствуйте, подскажите пожалуйста как подсчитать 2 интеграла Стилтьеса

$$\int_{-\pi}^{\pi} (x+2) d(sign\sin x)$$

$$\int_{0}^{20} x d[\cos x]$$ где [x]-целая часть от числа


Как-то я очень плохо понимаю,как сие штуки решать, так что мыслей довольно мало

1)Как я понял нужно посчитать интеграл Римана и прибавить к нему предел справа минус предел слева скачка умноженное на значения аргумента функции в которых будет скачок

Тогда взять интеграл по частям без sign, скачок будет в точке 0 поэтому к значению интеграла ничего прибавлять не надо, сам интеграл равен 0, значит и ответ 0?

2) разрывы в точках $\frac{(2n+1)\pi}{2}$

интеграл равен $\sin(20)-20\cos(20)+(-\pi+3\pi-5\pi+7\pi-9\pi+11\pi-13\pi)=\sin(20)-20\cos(20)-7\pi$

Подскажите пожалуйста, что я делаю не правильно?

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 19:04 
loshka в сообщении #873214 писал(а):
скачок будет в точке 0 поэтому к значению интеграла ничего прибавлять не надо,

Почему не надо?
loshka в сообщении #873214 писал(а):
Подскажите пожалуйста, что я делаю не правильно?

Вы неверно помните формулу для вычисления интеграла по дискретной мере. Иными словами, как считать интеграл $\int_a^b f(x)dF(x)$ в точках разрыва $F$.

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 19:30 
прочитал в Фихтенгольце, понял свою ошибку, вопрос только остается насчет того как считать интеграл Римана, забыть про sign? и про взятие целой части от числа?

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 19:33 
Какой интеграл Римана? Ну по-любому в Колмогорове все есть. В Фихтенгольце, насколько я помню, нет Лебега-Стилтьеса, только Риман-Стилтьес. Большой разницы тут не будет, но все же.

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 19:36 
в Фихтенгольце написано просто интеграл Стилтьеса, просто я не понимаю, как считать интеграл с $sign$ ?

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 19:41 
loshka в сообщении #873296 писал(а):
в Фихтенгольце написано просто интеграл Стилтьеса, просто я не понимаю, как считать интеграл с $sign$ ?

Ну вот то, что в Фихтенгольце - это Риман-Стилтьес.
Ну как, формулы-то там есть какие-то? Какие? Про скачок мы все выяснили, а если функция $F$ "хорошая"? $F(x)=x^2$, например?

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 19:56 
то просто производную взять от нее и интегрировать,как обычный интеграл Римана

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 19:57 
Ну. А тут Вам что мешает?

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 20:00 
не умею брать интегралы от функции где есть $sign$ или еще хуже дробная часть от числа

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 20:08 
А интегралы-то Вам зачем от него брать? Вы от $x^2$ интеграл разве брали? Напишите нормально производящую функцию меры, чему и где она равна, сигнум этот Ваш, нарисуйте график, думайте дальше. Это слишком просто, чтобы еще и рассказывать.

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 20:29 
$$\int_{-\pi}^{\pi } (x+2) dsign\sin x = \int_{-\pi}^{\pi } (x+2)sign(\sin x) \cos x  +  (здесь считаю точки разрыва) $$ не могу посчитать интеграл, правильно ли я понимаю, что он равен 0?)

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 20:31 
loshka
Вот Вы какой-то ерундой занимаетесь, простите меня, ей-богу. Кто ж так дифференцирует?
Еще раз, чему равен сигнум синуса? Вообще сигнум - это что такое?

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 20:38 
эм, сигнум функция при отрицательном аргументе равна -1 при нуле 0 при положительном 1
сигнум синуса это отрезочки длиной $\pi/2$
Первый раз просто сталкиваюсь с тем что бы дифференцировать сигнум
$sgn(\sin x)'=0$ ? :-(

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 20:41 
loshka в сообщении #873344 писал(а):
сигнум синуса это отрезочки длиной $\pi/2$

Почему $\pi/2$?
loshka в сообщении #873344 писал(а):
$sgn(\sin x)'=0$ ?

Там, где она существует, разумеется. Кусочно-постоянная функция же ж.

 
 
 
 Re: интеграл Стилтьеса
Сообщение08.06.2014, 20:43 
$\pi$ вернее длина у них


а во втором интеграле, что делать с целой частью при дифференцирование косинуса?

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group