Как можно себе представить квантовое движение?

[Munin]

Sicker в сообщении #873094 писал(а):

а я думал он один и полностью определяется собственными функциями оператора

Полностью - с точностью до несущественной ерунды. Например, мы можем выбирать по-разному фазы (иногда и нормировки). Например, если собственные значения вырождены, то в подпространстве собственных функций мы можем выбирать базис произвольно (с точностью до произвольного поворота).

Sicker в сообщении #873094 писал(а):

и получается представление волновой функции в виде $F(p)$ неединственно?(не знаю как писать пси)

Пси писать очень просто: \Psi $\Psi,$ \psi $\psi.$ Как и любые другие греческие буквы. Надо только знать, как они называются латиницей. И ещё, две буквы надо начинать на приставку var ("разновидность"), иначе они будут написаны, как принято в американской типографской традиции, а не в отечественной: $\varepsilon,\varphi-\epsilon,\phi.$ И ещё, буква "омикрон" пишется просто как латинская "o", и заглавные греческие, совпадающие с латинскими, тоже пишутся ими: "ABEZHIKMNOPTX".

Представление волновой функции в пространстве импульсов единственное, потому что принято $\varphi(k)=0.$

-- 08.06.2014 14:41:46 --

Sicker в сообщении #873099 писал(а):

я их потом как нибудь сделаю :mrgreen:

Нет, не "потом" и "как нибудь", а сейчас и качественно!

[Sicker]

все дело в том что я легко могу преобразовать решения
но преобразовывать вид уравнений мне никогда не приходилось
сейчас попробую

[Munin]

Давайте пробуйте. Большая часть заковыки - в преобразованиях производных.

[Sicker]

я понял как это делать

-- 08.06.2014, 16:01 --

можно я на бумажке проделаю и сюда скину?
а то набирать очень долго

[Munin]

Ну можно... только втихаря, чтобы модераторы не увидели.

[Sicker]

(Оффтоп)

Вот

[Munin]

Sicker в сообщении #873196 писал(а):

$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial u}{\partial t'}-\dfrac{\partial u}{\partial x'}\cdot v$
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x'}$

Правильно.

В преобразованиях Лоренца будет меньше писанины, если использовать обозначение $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$ Или иногда удобно пользоваться функциями $\ch\theta,\sh\theta,\th\theta$ ($=\gamma,v\gamma,v$ соответственно). Если положить $c=1,$ то $\beta=v.$

-- 08.06.2014 19:06:14 --

Теперь самое интересное: решить полученные уравнения :-) Самым халявным способом: подставив туда бегущую монохроматическую волну. Сиречь синусоиду.

[Sicker]

$\cdot{\frac{1}{C^2}}{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$
Найдем, как будет выглядеть уравнение в системе отсчета, которая движется со скоростью $v$ в положительном направлении оси $x$
Преобразования Галилея
$x=x'+vt'$
$t=t'$
$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial t'}-v\frac{\partial u}{\partial x'}$
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial t'^2}-v\frac{\partial^2 u}{\partial t' \partial x'}-v\frac{\partial^2 u}{\partial x' \partial t'}+v^2\frac{\partial^2 u}{\partial x'^2}$
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x'}$
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x'^2}$
Подставляя это в исходное волновое уравнение получаем
$\frac{1}{C^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t'^2}-\frac{2v}{C^2}\frac{\partial^2 u}{\partial x' \partial t'}+\frac{v^2-C^2}{C^2}\frac{\partial^2 u}{\partial x'^2}=0$

[Munin]

Только там везде $C$ большая. Неудобно я выбрал, может, лучше скорость в дифуре обозначить $K$?

[Sicker]

Преобразование Лоренца
$x'=\gamma (x-\beta t)$
$t'=\gamma (t-\beta x)$
$\frac{\partial u}{\partial t}=\gamma \frac{\partial u}{\partial t'}-\beta \gamma \frac{\partial u}{\partial x'}$
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\gamma^2\frac{\partial^2 u}{\partial t'^2}-\beta \gamma^2 \frac{\partial^ 2 u}{\partial t' \partial x'}-\beta \gamma^2 \frac{\partial^ 2 u}{\partial x' \partial t'}+\beta^2 \gamma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x'^2}$
$\frac{\partial u}{\partial x}=\gamma \frac{\partial u}{\partial x'}-\beta \gamma \frac{\partial u}{\partial t'}$
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\gamma^2\frac{\partial^2 u}{\partial x'^2}-\beta \gamma^2 \frac{\partial^ 2 u}{\partial x' \partial t'}-\beta \gamma^2 \frac{\partial^ 2 u}{\partial t' \partial x'}+\beta^2 \gamma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t'^2}$
После подстановки в волновое уравнение окончательно получает(коэффициент $C$я заменил на $K$)
$\frac{1-(K\beta)^2}{K^2 (1-\beta^2)}\frac{\partial^2 u}{\partial t'^2}+\frac{2\beta}{1-\beta^2}(1-\frac{1}{K^2})\frac{\partial^2 u}{\partial x' \partial t'}+\frac{\beta^2-K^2}{K^2(1-\beta^2)}\frac{\partial^2 u}{\partial x'^2}=0$
Если $K=1$(скорости света), то это уравнение превращается в следующее
$\frac{\partial^2 u}{\partial t'^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x'^2}=0$

[Munin]

В числителях у вас размерности не сходятся (если считать, что $K$ - скорость; $\beta$ безразмерна).

[Sicker]

$K$ тоже безразмерна
мы же в $c=1$ работаем

[Munin]

Поздравляю с важным результатом: вы обнаружили, что волновое уравнение форм-инвариантно (ковариантно) относительно преобразований Лоренца с подходящей "скоростью света".

-- 08.06.2014 19:53:45 --

Sicker в сообщении #873256 писал(а):

мы же в $c=1$ работаем

А, ну хорошо.

-- 08.06.2014 19:54:41 --

Если бы не, то у вас бы вместо единиц $c^n$ повылазили бы.

-- 08.06.2014 19:55:19 --

Итак, решения уравнений!

[Sicker]

Munin в сообщении #873257 писал(а):

Поздравляю с важным результатом: вы обнаружили, что волновое уравнение форм-инвариантно (ковариантно) относительно преобразований Лоренца с подходящей "скоростью света".

ага

-- 08.06.2014, 20:09 --

Munin в сообщении #873257 писал(а):

Итак, решения уравнений!

Заключительный номер
Для волнового уравнения$\frac{1}{K^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$
имеет решение $u=f(x-Kt)+g(x+Kt)$
А для уравнения, которое получается при преобразовании Галилея, имеем
$u=f(x-(K-v)t)+g(x+(K+v)t)$
ну вот и соответствие

-- 08.06.2014, 20:10 --

а для Лоренца надо повозиться с преобразованием скоростей

[Munin]

Ответ, видимо, правильный, но мне для доверия не хватает промежуточных выкладок.

Кстати, я вспомнил, что мы с вами далеко не в первый раз на эту тему разговариваем :-) (Прямо как Джа-Будда со своими учениками...)

Ссылки на более ранние темы:
«Скорость света» (10.2013)
«Уравнения Маквелла» (Так и висит с опечаткой... 11.2013)
«Нарушение закона сохранения энергии» (12.2013-4.2014)

Я гляжу, беглость у вас некоторая уже появилась. Самостоятельно выкладки делаете. Теперь можно перечитать старенькое, чтобы понять прозвучавшие формулы и впитать немножко философии.

-- 08.06.2014 20:31:44 --

Заодно, там можно увидеть и метод разложения оператора на множители...