Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

Чёрт. Надо было сказать "на всюду плотном множестве меры нуль".

[ewert]

Munin в сообщении #872917 писал(а):

Чёрт. Надо было сказать "на всюду плотном множестве меры нуль".

Не надо было -- не спасёт. Просуммируйте подобные функции с вершинами в рациональных точках и подходящими для сходимости коэффициентами.

[Munin]

ewert в сообщении #872920 писал(а):

Просуммируйте подобные функции с вершинами в рациональных точках и подходящими для сходимости коэффициентами.

Ну почему, это для меня вполне содержательный ответ. Спасибо.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872910 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872850 писал(а):

мы же говорим лишь об элементарной версии равномерного дифференцирования, и интегрирования достаточно хороших функций

Что значит "достаточно"?... вот, скажем, корень из икса -- он дифференцируем достаточно равномерно или недостаточно?...

А ведь вопрос отнюдь не празден: в сугубо практических задачах численного интегрирования он весьма так животрепещет.

Дедушка Арнольд говорил: "Каждая идея должна быть вначале ясно понята в простейшей ситуации, и только затем развитый метод может переноситься на более сложные случаи." Вы же хотите сразу объять необъятное, и все мы знаем к чему это приводит. Корень из икса вообще не дифференцируем в нуле, и когда он понадобится, с ним можно и разобраться, но не в самом начале, когда мы не умеем ни интегрировать, ни дифференцировать.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872923 писал(а):

Вы же хотите сразу объять необъятное.

Нет, не хочу. Я лишь хочу сразу же предупреждать, что особые случаи всегда возможны (притом практически) и что к ним всегда следует быть готовыми. А это невозможно сделать, не формулируя утверждения честно -- и приводя контрпримеры, иллюстрирующие нужность тех или иных формальных требований. При этом сами требования вовсе не обязаны быть "точными" (т.е. неослабляемыми). Но они не могут быть и излишне жёсткими -- в этом случае резко сужается область возможных (практически возможных) приложений.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872925 писал(а):

Нет, не хочу. Я лишь хочу сразу же предупреждать, что особые случаи всегда возможны

Да кто же с этим спорит?!

[Munin]

mishafromusa в сообщении #872923 писал(а):

Вы же хотите сразу объять необъятное, и все мы знаем к чему это приводит.

Слушайте, слушайте!

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872928 писал(а):

При этом сами требования вовсе не обязаны быть "точными" (т.е. неослабляемыми). Но они не могут быть и излишне жёсткими -- в этом случае резко сужается область возможных (практически возможных) приложений.

Да ведь никто и не берёт требования раз и навсегда, ну не подходит один модуль непрерывности --попробуем другой. Оценки портятся около какой-нибудь точки -- так придумаем что-нибудь. Ведь нет определений, которые работают в любой задаче.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872932 писал(а):

Оценки портятся около какой-нибудь точки -- так придумаем что-нибудь.

Ну да. Придумаем определение производной для многочленов, и всё замечательно. А, нет, синусы вылезли; ну да и для них определение придумаем, делов-то. Тьфу ты, что за чёрт: откуда ни возьмись экспоненты взялись; ну да нам не привыкать -- для экспонент будет своё определение, очень красивое. Нет, ну что за напасть -- тут ещё бесселя какие-то; откуда они, когда для них и производных-то ещё не ввели, а они уже имеют наглость существовать!

[g______d]

Не знаю, мне это определение с модулем непрерывности не нравится. Вместо того, чтобы говорить, что производная – это штука, которую в каждой точке можно посчитать или померить, вводят какую-то громоздкую функцию двух переменных. Поэтапно гораздо легче понять, за студентов тоже, наверное, могу поручиться.

Кроме того, для задач университетского анализа самый естественный класс – $C^1$; для него большинство теорем и формулируется. Для него, конечно, нужны свойства непрерывных функций, но не вижу никакого смысла пропускать непрерывность и на всех парах мчаться к производным.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872938 писал(а):

Ну да. Придумаем определение производной для многочленов, и всё замечательно.

Именно так, все правила дифференцирования и интегрирования автоматически переносятся на гладкие функции по теореме Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций многочленами.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #872947 писал(а):

переносятся на гладкие функции по теореме Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций многочленами.

Чтобы переносились, надо доказывать теорему Вейерштрасса об аппроксимации в классе $C^1$. Подождите,... в каком таком классе? Его же сначала определить надо.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872947 писал(а):

Именно так, все правила дифференцирования и интегрирования автоматически переносятся на гладкие функции по теореме Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций многочленами.

Увы. Теоремы Вейерштрасса ещё нет и ещё очень-очень долго не будет (жутко долго). Общее же понятие, вкупе с типичными особыми случаями -- нужно здесь и сейчас.

g______d в сообщении #872945 писал(а):

для задач университетского анализа самый естественный класс – $C^1$; для него большинство теорем и формулируется.

Ну это смотря от чего процентаж отсчитывать. В первом семестре, по-моему, этот класс вообще нигде никому не нужен.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #872945 писал(а):

Вместо того, чтобы говорить, что производная – это штука, которую в каждой точке можно посчитать или померить, вводят какую-то громоздкую функцию двух переменных.

Никто не делает этого, просто сначала, чтоб понять почему многочлен с положительной производной возрастает, используется простая оценка, которая потом берётся за определение Липшицевой дифференцируемости, которая работает для всех аналитических и даже достаточно гладких функций. Это совершенно естественное обобщение.

-- 07.06.2014, 16:18 --

g______d в сообщении #872949 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872947 писал(а):

переносятся на гладкие функции по теореме Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций многочленами.

Чтобы переносились, надо доказывать теорему Вейерштрасса об аппроксимации в классе $C^1$. Подождите,... в каком таком классе? Его же сначала определить надо.

Да ничего не надо "определять сначала," я просто говорю, что все формулы остаются в силе, и переучивать ничего не понадобится.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872953 писал(а):

почему многочлен с положительной производной возрастает,

Да с чего нам сдались эти несчастные многочлены-то?... К этому моменту мы давно уж привыкли ко множеству других функций, а от аппроксимаций их многочленами -- напротив, ещё крайне далеки. Определение получается абсолютно немотивированным.