Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872439 писал(а):

А какие конкретно технические детали Вас интересуют?

Да просто любопытно, что это за второй подход, детали я и сам могу восстановить.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872453 писал(а):

что это за второй подход, детали я и сам могу восстановить.

Ну вот же он:

ewert в сообщении #872344 писал(а):

$f(x)\equiv L_n(x)+\delta^{n+1}f\cdot\omega_{n+1}(x)$, где $\delta^{n+1}f$ -- разделённая разность, построенная по узлам $x_0,x_1,\ldots,x_n$ и по точке $x$; соответственно, $\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$. Ну а $\delta^{n+1}f=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$ уже практически непосредственно по теореме Ролля

Здесь сформулированы два утверждения, и оба доказываются очень просто. Первое -- что погрешность интерполяции формально выражается через некую разделённую разность, одним из узлов которой является точка наблюдения $x$. И второе -- что любая разделённая разность пропорциональна производной того же порядка в некоторой промежуточной точке. Ну а стандартная формула для погрешности $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot\omega_{n+1}(x)$ является непосредственным следствием этих двух утверждений.

[mishafromusa]

Аа, я просто не понял, про "второй подход" говорилось после формул, и я подумал, что это что-то ещё, а про этот всё понятно, спасибо.

-- 06.06.2014, 08:03 --

ewert в сообщении #872434 писал(а):

В каком смысле усреднению?

Вопрос действительно не праздный, в особенности когда производная не интегрируема (даже по Лебегу), тогда приходится пользоваться либо оценкой конечных приращений, которая часто доказываетя при помощи теоремы Лагранжа, т.е. по сушеству теорема Ролля или полнота сюда вкрадываются. Правда можно использовать и зубодробительный интеграл Хенстока, которым можно проинтегрировать любую производную, но для интеграла Хенстока нужна компактность замкнутых интервалов. Этих трудностей, конечно, не возникает, если производная непрерывна. Ещё раз спасибо за обсуждение.

[Munin]

В качестве продолжения одной из веток обсуждения рекламирую здесь свою тему:
«Математика для школьной физики, программа»

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872434 писал(а):

В каком смысле усреднению?

Ewert, Мне тут пришло в голову, что если производная равномерно ограничена, то она будет интегрируемой по Лебегу. Поэтому, если мы предполагаем ограниченность старшей производной и используем её для оценки точности интерполяции, то эта производная будет интегрируемой по Лебегу. и её усреднение, совпадающее с разделённой разностью, будет интегралом Лебега.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #870626 писал(а):

Цитата:

Да, я перепутал -- имел в виду Вейерштрасса. Для Ферма компактность, естественно, не нужна. А как насчёт Вейерштрасса? Тоже ведь далеко не последняя теорема, мягко говоря.

А она в этом подходе просто не нужна.

Серьезно? Анализ вообще без компактности?

Это как-то странно, как минимум половина теорем существования в анализе и PDE основаны на компактности; собственно, техник, позволяющих доказывать существование чего-то, не так много, чтобы про одну из самых простых демонстративно забывать.

-- Пт, 06 июн 2014 18:38:37 --

mishafromusa в сообщении #872458 писал(а):

Этих трудностей, конечно, не возникает, если производная непрерывна.

Очень много теорем в анализе и так предполагают $C^1$. "Просто дифференцируемые во всех точках" функции встречаются только в классических теоремах, а на самом деле могут быть жуткими монстрами.

Dave L. Renfro писал(а):

The continuity set of a derivative on an open interval $J$ is dense in $J$. In fact, the continuity set has cardinality $c$ in every subinterval of $J$. On the other hand, the discontinuity set $D$ of a derivative can have the following properties:

$D$ can be dense in $\mathbb R$.

$D$ can have cardinality $c$ in every interval.

$D$ can have positive measure. (Hence, the function can fail to be Riemann integrable.)

$D$ can have positive measure in every interval.

$D$ can have full measure in every interval (i.e. measure zero complement).

$D$ can have a Hausdorff dimension zero complement.

$D$ can have an $h$-Hausdorff measure zero complement for any specified Hausdorff measure function $h$.

[Munin]

(Оффтоп)

Мило. Хотел бы я посмотреть на функцию, дифференцируемую на множестве меры нуль.

[ewert]

Munin в сообщении #872735 писал(а):

Хотел бы я посмотреть на функцию, дифференцируемую на множестве меры нуль.

Ну, например, одна точка имеет меру, равную нулю с хорошей точностью.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #872735 писал(а):

Мило. Хотел бы я посмотреть на функцию, дифференцируемую на множестве меры нуль.

Пустое множество имеет меру нуль, а нигде не дифференцируемых функцой (при этом даже непрерывных) полно, смотри -- не хочу.

-- 07.06.2014, 12:02 --

g______d в сообщении #872673 писал(а):

Серьезно? Анализ вообще без компактности?

Да не весь же анализ, мы же говорим лишь об элементарной версии равномерного дифференцирования, и интегрирования достаточно хороших функций, тут действительно компактность не нужна.

[g______d]

Munin в сообщении #872735 писал(а):

Мило. Хотел бы я посмотреть на функцию, дифференцируемую на множестве меры нуль.

В этих примерах все функции дифференцируемы на отрезке (во всех точках), что не мешает их производным быть, хоть и везде определенными, но очень плохими.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872850 писал(а):

мы же говорим лишь об элементарной версии равномерного дифференцирования, и интегрирования достаточно хороших функций

Что значит "достаточно"?... вот, скажем, корень из икса -- он дифференцируем достаточно равномерно или недостаточно?...

А ведь вопрос отнюдь не празден: в сугубо практических задачах численного интегрирования он весьма так животрепещет.

[Munin]

g______d
А, спасибо.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #872735 писал(а):

[off]Мило. Хотел бы я посмотреть на функцию, дифференцируемую на множестве меры нуль.

$f(x)=x^2$ provided $x\in\mathbb{Q}$ and $f(x)=0$ otherwise[/off]

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #872910 писал(а):

Что значит "достаточно"?... вот, скажем, корень из икса -- он дифференцируем достаточно равномерно или недостаточно?...

Кусочно-равномерно

-- 07.06.2014 23:10:36 --

Oleg Zubelevich
Спасибо!

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #872913 писал(а):

otherwise

На всякий случай: это слово принято переводить на русский как "дирихле" (а то вдруг кто не знает аглицкого)

-- Сб июн 07, 2014 23:13:21 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #872914 писал(а):

Кусочно-равномерно

Тут шуточками не отделаешься, вопрос -- сугубо практический.