Математика для школьной физики, программа

[Munin]

Данная тема является ответвлением вот этой темы: «Строгое доказательство 1-го замечательного предела»
и конкретно вот этого сообщения: Re: Строгое доказательство... (Munin, 02.06.2014 19:02:13, #871017)

Попытаемся представить себе примерную программу дополнительного курса "Прикладная математика". (Или "Математические инструменты в естественных науках", или ещё как-нибудь.)
Условия:
- считаем курс не конфликтующим за часы ни с "Математикой", ни с "Физикой";
- курс не содержит абсолютно никаких доказательств, сосредоточен на пояснении сути задач и умении их решать;
- курс рассчитан на предоставление математических моделей для "Физики" (прежде всего), выпускного экзамена по нему нет;
- курс продолжается с 7 по 11 классы (параллельно "Физике").

Основное содержание курса: математический анализ (в широком смысле), с трёх точек зрения: формульно-алгебраической, графико-геометрической, численно-алгоритмической. Сразу и всё время рассматривается $n$-мерное пространство, в т. ч. отдельно $1,2,3,n>3$ измерений.

Направление 1. Пространство \Large $n$ переменных, геометрия.
Направление 2. Функции в пространстве \Large $n$ переменных.
Направление 3. Векторы в пространстве \Large $n$ переменных.
Направление 4. Определённый интеграл.
Направление 5. Операции дифференцирования, и обратные им.
Направление 6. Дифференциальные уравнения.
Направление 7. Линейная алгебра (преобразования пространства, алгебра подпространств). (Поднаправление направления 3?)
Направление 8. Нелинейные преобразования пространств. (? достаточно ознакомления?)
Направление 9. Преобразование Фурье.
Направление 10. Малые и большие величины. Приближения в нуле и на бесконечности. Приближённые оценки.
Направление 11. Основы численных методов.
Направление 12. Математические модели, их составление, их сопоставление с реальностью.

(Не покрывать)

-- Не покрывать: алгебраические методы работы с уравнениями и неравенствами, с элементарными функциями и выражениями из них. Это всё входит в стандартную "Математику".

"Направления" изучаются в большой степени параллельно, и на протяжении продолжительного времени. Некоторые "направления" основаны на других, и начинаются не раньше, чем будут даны начальные сведения по другому "направлению".

Раскладку по темам и по годам пока не придумал. Предлагаю подключится всех, кто согласен с Условиями.

[Pphantom]

На мой взгляд, первое и самое главное - вот эти три темы:

Munin в сообщении #872535 писал(а):

Направление 10. Малые и большие величины. Приближения в нуле и на бесконечности. Приближённые оценки.
Направление 11. Основы численных методов.
Направление 12. Математические модели, их составление, их сопоставление с реальностью.

Все остальное без особого ущерба может быть выкинуто, причем зачастую не только из школьной, но и из ВУЗовской программы (ну, пожалуй, кроме пп.4 и 6).

[Ms-dos4]

Pphantom в сообщении #872541 писал(а):

Все остальное без особого ущерба может быть выкинуто, причем зачастую не только из школьной, но и из ВУЗовской программы (ну, пожалуй, кроме пп.4 и 6).

-- Пт июн 06, 2014 19:49:49 --

Munin
Не рано ли в школе всё это давать? К тому же многое перекликается с вузовской программой. В общем, только как кружок/факультатив.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #872535 писал(а):

- курс не содержит абсолютно никаких доказательств, сосредоточен на пояснении сути задач и умении их решать

А если доказательство изложено в виде одной или нескольких задач, тогда можно?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #872535 писал(а):

Нелинейные преобразования пространств.

а это что?

[мат-ламер]

Простите, что влезаю. А школьники в школе вообще физикой интересуются? Хотя Россия стабильно в десятке лучших на мировых олимпиадах. Значит отдельные энтузиасты есть. Ну а если посмотреть чуть шире?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #872535 писал(а):

Малые и большие величины. Приближения в нуле и на бесконечности. Приближённые оценки.

вот кстати чего не хватает по настоящему (в вузовских курсах) так это асимптотических методов

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #872564 писал(а):

а это что?

Наверное отображения одного пространсва в другое (или самого в себя).

[Nemiroff]

мат-ламер в сообщении #872570 писал(а):

Простите, что влезаю. А школьники в школе вообще физикой интересуются?

Не ахти какие данные, но тем не менее.

Количество участников ЕГЭ по физике (чел.):
2009 г. — 239037,
2010 г. — 213186,
2011 г. — 198835 (27.41% от общего числа выпускников, 7.14% от общего числа экзаменов),
2012 г. — 217954 (27.74% от общего числа выпускников, 7.19% от общего числа экзаменов),
2013 г. — 208875 (28.12% от общего числа выпускников, 7.08% от общего числа экзаменов)

Динамика среднего балла по физике:
2009 г. — 47.88,
2010 г. — 49.77,
2011 г. — 50.70,
2012 г. — 46.68, 30 или меньше баллов набрали 24329 человек, больше 80 баллов — 4688 человек,
2013 г. — 53.48, 30 или меньше баллов набрали 17422 человека, больше 80 баллов — 17106 человек.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #872564 писал(а):

а это что?

Ну как же — возведение пространства в квадрат, логарифмирование пространства и т. д.

[mishafromusa]

Если серьёзно, то начинать разработку этого предмета нужно не с математики, а с физики (и других естественных наук). Нужно собрать набор тем и задач из этих наук, где математика полезна, и формулировка которых была бы понятной школьникам. А уж какая математика понадобится, в той и нужно будет разбираться.

[Munin]

Pphantom в сообщении #872541 писал(а):

Все остальное без особого ущерба может быть выкинуто, причем зачастую не только из школьной, но и из ВУЗовской программы (ну, пожалуй, кроме пп.4 и 6).

Я посмотрел на школьную программу по физике (точнее, просто пролистал учебники, конкретно Пёрышкина-Касьянова), и убедился, что пп. 1, 2, 3 остро необходимы. Всю дорогу школьная программа по математике ограничивается анализом одной переменной, а физика - использует анализ 2, 3, и большего числа переменных.

Ms-dos4 в сообщении #872544 писал(а):

Не рано ли в школе всё это давать? К тому же многое перекликается с вузовской программой. В общем, только как кружок/факультатив.

Почитайте темы, на которые вначале даны ссылки. Я считаю, что если изменить подход, не углубляться в доказательства, и в технические тонкости, нужные только для доказательств, то всё это дать можно. И не будет рано. И с другой стороны - нужно, поскольку в физике фактически используется (только физики при этом не произносят вслух, что объясняют математику).

mishafromusa в сообщении #872558 писал(а):

А если доказательство изложено в виде одной или нескольких задач, тогда можно?

Не пытайтесь изыскать лазейки. Меня интересует соблюдение духа, а не буквы. Я не против решения задач, дающих полезные факты, я не против изложения идей, стоящих за фактами (и являющихся идеями доказательств). Я против только того, чтобы это в разы и на порядки замедляло подачу материала, и чтобы это отвлекало от решения практических задач с использованием математического аппарата как инструмента.

Oleg Zubelevich в сообщении #872564 писал(а):

а это что?

Гладкие отображения, якобиан, диффеоморфизмы, замена нескалярной переменной. То же, что в линейной алгебре, но на локальном уровне. У вас есть название получше? Давайте.

Я старался формулировать названия без специальной терминологии, в терминах, которые знакомы учителям физики в школе. И понятия тоже стоит ограничить этим диапазоном. Например, без дифференциальных форм и топологии обойтись.

Oleg Zubelevich в сообщении #872573 писал(а):

вот кстати чего не хватает по настоящему (в вузовских курсах) так это асимптотических методов

Есть, но в очень кратком виде, и видимо, без раскрытия всей широты и глубины темы.

mishafromusa в сообщении #872594 писал(а):

Если серьёзно, то начинать разработку этого предмета нужно не с математики, а с физики (и других естественных наук). Нужно собрать набор тем и задач из этих наук, где математика полезна, и формулировка которых была бы понятной школьникам. А уж какая математика понадобится, в той и нужно будет разбираться.

Начерно и подготовительно я это уже проделал: Re: Строгое доказательство... (Munin, 02.06.2014 19:02:13, #871017)

Конечно, более глубокая проработка, и вообще любые добавления приветствуются.

[g______d]

Munin в сообщении #872616 писал(а):

Гладкие отображения, якобиан, диффеоморфизмы, замена нескалярной переменной. То же, что в линейной алгебре, но на локальном уровне. У вас есть название получше? Давайте.

Это обычно объединяется с пунктом 2 и называется "функции многих переменных".

[Munin]

g______d в сообщении #872619 писал(а):

Это обычно объединяется с пунктом 2 и называется "функции многих переменных".

В п. 2 подразумевались скалярные. Видимо, надо поправить название.

-- 06.06.2014 23:56:04 --

Правда, тогда возникает отдельный пункт "Векторные поля". Чёрт, как же быть.

[Pphantom]

Munin в сообщении #872616 писал(а):

Всю дорогу школьная программа по математике ограничивается анализом одной переменной, а физика - использует анализ 2, 3, и большего числа переменных.

Да, но этот анализ при понимании анализа функций одной переменной и наличия общего представления о векторах совершенно тривиален. А темы, где появляется что-то более сложное, традиционно в школьный курс физики не входят.

[Munin]

В общем, п. 8 отличается идеологически: мы смотрим на функцию не как на некоторую величину в точке, а как на операцию смещения самой точки. Аналогично тому, как среди всех тензоров, тензор ранга $(1,1)$ выделен тем, что может быть проинтерпретирован как оператор.

-- 07.06.2014 00:39:13 --

Pphantom в сообщении #872637 писал(а):

Да, но этот анализ при понимании анализа функций одной переменной и наличия общего представления о векторах совершенно тривиален.

Тем лучше.

Pphantom в сообщении #872637 писал(а):

А темы, где появляется что-то более сложное, традиционно в школьный курс физики не входят.

Векторный анализ в школьный курс физики входит. Волновое уравнение в школьный курс физики входит.