2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 сложная задача, ищу решение
Сообщение02.06.2014, 22:31 


29/01/14
25
Докажите, что при иррациональном $\alpha$ для каждой точки $a $ единичного отрезка и любого наперед заданного числа $\epsilon$ найдется точка вида $\{ \alpha n\}$ , такая что $|a - \{\alpha n\}| < \epsilon$. $ \{x\}$ - дробная часть числа $x$, а $n$ - целое число.

Кто-нибудь знает решение этой задачи или книжку, в которой можно его прочитать?
Буду благодарен за любую информацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: сложная задача, ищу решение
Сообщение02.06.2014, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Задача несложная. Только что была тема, там и набросок доказательства найдете: http://dxdy.ru/topic83275.html.

 Профиль  
                  
 
 Re: сложная задача, ищу решение
Сообщение02.06.2014, 23:06 


29/01/14
25
ex-math в сообщении #871151 писал(а):
Задача несложная. Только что была тема, там и набросок доказательства найдете: http://dxdy.ru/topic83275.html.

Там, как мне кажется, задача выходит за рамки школьной математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: сложная задача, ищу решение
Сообщение02.06.2014, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Принцип ящиков Дирихле и понимание того, что такое дробная часть -- больше ничего не требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: сложная задача, ищу решение
Сообщение03.06.2014, 18:36 


29/01/14
25
ex-math в сообщении #871172 писал(а):
Принцип ящиков Дирихле и понимание того, что такое дробная часть -- больше ничего не требуется.

Знаю и то, и другое, но никак это применить здесь.
Насколько я понимаю, требуется доказать, что двигаясь по отрезку иррациональным числом можно оказаться сколь угодно близко к точке $a$, разве для решение не нужно задействовать понятия из анализа?

 Профиль  
                  
 
 Re: сложная задача, ищу решение
Сообщение03.06.2014, 21:18 
Аватара пользователя


14/12/13
119
constant в сообщении #871435 писал(а):
ex-math в сообщении #871172 писал(а):
Принцип ящиков Дирихле и понимание того, что такое дробная часть -- больше ничего не требуется.

Знаю и то, и другое, но никак это применить здесь.
Насколько я понимаю, требуется доказать, что двигаясь по отрезку иррациональным числом можно оказаться сколь угодно близко к точке $a$, разве для решение не нужно задействовать понятия из анализа?

Для решения этой задачи не нужно никаких умных слов.

Фиксируем число $\varepsilon > 0$, найдем $n$ такое, что $\frac{1}{n} < \varepsilon$. Разобьем отрезок на $n$ частей. Будем шагать по нему с шагом $\alpha$. Сделав $n + 1$ шаг, мы гарантированно дважды попадем в какой-нибудь отрезок. Пусть мы попали в один и тот же отрезок на шагах $k$ и $l$. Тогда на шаге $k - l$ мы окажемся в первом отрезке. Значит $\{\alpha (k - l)\} < \frac{1}{n}$. Теперь, двигаясь шагами $(k - l)\alpha$, мы гарантированно попадем в отрезок, где лежит число $a$. Значит мы нашли такое $m = s(k - l)$, что $|a - s\alpha| < \frac{1}{n} < \varepsilon$.

Сами подумайте, где тут существенно использовалась иррациональность.

 Профиль  
                  
 
 Re: сложная задача, ищу решение
Сообщение03.06.2014, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
constant
В теме по моей ссылке есть доказательство по кускам. Теперь Вам тут его написали уже прямым текстом. Вы хоть немного попытайтесь самостоятельно подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: сложная задача, ищу решение
Сообщение03.06.2014, 23:44 


20/03/14
12041
 !  Foxer
Замечание за полное решение учебной задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group