сложная задача, ищу решение

[constant]

Докажите, что при иррациональном $\alpha$ для каждой точки $a $ единичного отрезка и любого наперед заданного числа $\epsilon$ найдется точка вида $\{ \alpha n\}$ , такая что $|a - \{\alpha n\}| < \epsilon$. $ \{x\}$ - дробная часть числа $x$, а $n$ - целое число.

Кто-нибудь знает решение этой задачи или книжку, в которой можно его прочитать?
Буду благодарен за любую информацию.

[ex-math]

Задача несложная. Только что была тема, там и набросок доказательства найдете: http://dxdy.ru/topic83275.html.

[constant]

ex-math в сообщении #871151 писал(а):

Задача несложная. Только что была тема, там и набросок доказательства найдете: http://dxdy.ru/topic83275.html.

Там, как мне кажется, задача выходит за рамки школьной математики.

[ex-math]

Принцип ящиков Дирихле и понимание того, что такое дробная часть -- больше ничего не требуется.

[constant]

ex-math в сообщении #871172 писал(а):

Принцип ящиков Дирихле и понимание того, что такое дробная часть -- больше ничего не требуется.

Знаю и то, и другое, но никак это применить здесь.
Насколько я понимаю, требуется доказать, что двигаясь по отрезку иррациональным числом можно оказаться сколь угодно близко к точке $a$, разве для решение не нужно задействовать понятия из анализа?

[Foxer]

constant в сообщении #871435 писал(а):

ex-math в сообщении #871172 писал(а):

Принцип ящиков Дирихле и понимание того, что такое дробная часть -- больше ничего не требуется.

Знаю и то, и другое, но никак это применить здесь.
Насколько я понимаю, требуется доказать, что двигаясь по отрезку иррациональным числом можно оказаться сколь угодно близко к точке $a$, разве для решение не нужно задействовать понятия из анализа?

Для решения этой задачи не нужно никаких умных слов.

Фиксируем число $\varepsilon > 0$, найдем $n$ такое, что $\frac{1}{n} < \varepsilon$. Разобьем отрезок на $n$ частей. Будем шагать по нему с шагом $\alpha$. Сделав $n + 1$ шаг, мы гарантированно дважды попадем в какой-нибудь отрезок. Пусть мы попали в один и тот же отрезок на шагах $k$ и $l$. Тогда на шаге $k - l$ мы окажемся в первом отрезке. Значит $\{\alpha (k - l)\} < \frac{1}{n}$. Теперь, двигаясь шагами $(k - l)\alpha$, мы гарантированно попадем в отрезок, где лежит число $a$. Значит мы нашли такое $m = s(k - l)$, что $|a - s\alpha| < \frac{1}{n} < \varepsilon$.

Сами подумайте, где тут существенно использовалась иррациональность.

[ex-math]

constant
В теме по моей ссылке есть доказательство по кускам. Теперь Вам тут его написали уже прямым текстом. Вы хоть немного попытайтесь самостоятельно подумать.

[Lia]

Foxer
Замечание за полное решение учебной задачи.