Принцип ящиков Дирихле и понимание того, что такое дробная часть -- больше ничего не требуется.
Знаю и то, и другое, но никак это применить здесь.
Насколько я понимаю, требуется доказать, что двигаясь по отрезку иррациональным числом можно оказаться сколь угодно близко к точке

, разве для решение не нужно задействовать понятия из анализа?
Для решения этой задачи не нужно никаких умных слов.
Фиксируем число

, найдем

такое, что

. Разобьем отрезок на

частей. Будем шагать по нему с шагом

. Сделав

шаг, мы гарантированно дважды попадем в какой-нибудь отрезок. Пусть мы попали в один и тот же отрезок на шагах

и

. Тогда на шаге

мы окажемся в первом отрезке. Значит

. Теперь, двигаясь шагами

, мы гарантированно попадем в отрезок, где лежит число

. Значит мы нашли такое

, что

.
Сами подумайте, где тут существенно использовалась иррациональность.