Алгебра. Степень поля разложения.

[VAL]

julyk в сообщении #871244 писал(а):

Хорошо:)
Вот есть у нас $\mathbb Q\left(\sqrt[3]{2}\right)/\mathbb Q.$ Базис $\left(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2^2}\right),$ три элемента, степень расширения 3.

Отлично!

Но в построенном поле лежит только один корень $x^3-2$. Чтобы получит остальные над нужно присоединить к полю $\mathbb Q\left(\sqrt[3]{2}\right)$ элемент $\omega$. Корнем какого неприводимого над $\mathbb Q\left(\sqrt[3]{2}\right)$ полинома является $\omega$?

PS. Повторюсь: запись $\mathbb Q\left(\sqrt[3]{2}\right)/\mathbb Q$ мне не нравится. Лучше писать "базис $\mathbb Q\left(\sqrt[3]{2}\right)$ над $\mathbb Q$".

[julyk]

$\omega-$корень полинома $\left(x^2+x+1\right).$

[VAL]

julyk в сообщении #871247 писал(а):

$\omega-$корень полинома $\left(x^2+x+1\right).$

Отлично!

Тогда как выглядит базис $\mathbb Q\left(\sqrt[3]2,\omega\right)$ над $\mathbb Q\left(\sqrt[3]2\right)$?

[julyk]

Думаю $\left(1,\omega\right).$

[VAL]

julyk в сообщении #871251 писал(а):

Думаю $\left(1,\omega\right).$

Отлично!

Осталось применить теорему о башне расширений.
Согласно этой теореме, искомый базис будет состоять из всевозможных произведений элементов первого базиса на элементы второго.

[julyk]

Аа, тогда и получится 6!
$\left(1,\sqrt[3]{2},\omega,\omega\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2}\right).$

Спасибо Вам всем большое за терпение и внимание ко мне!:)

[VAL]

julyk в сообщении #871259 писал(а):

Аа, тогда и получится 6!
$\left(1,\sqrt[3]{2},\omega,\omega\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2}\right).$

Спасибо Вам всем большое за терпение и внимание ко мне!:)

Пожалуйста!
Но лучше, все же, так: $\left(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4},\omega,\omega\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{4}\right)$