Алгебра. Степень поля разложения.

[ex-math]

Если что-то не раскладывается по базису, значит базис надо дополнить. Чем например?

[VAL]

julyk в сообщении #871066 писал(а):

Не понимаю, почему вы смешиваете $x^3-1$ и $x^3-2$... Я приняла это просто за второй пункт. Или вы предлагаете решить, используя пункт $a$?

Я ничего не смешиваю.
Просто поле разложения $x^3-2$ содержит поля разложения $x^3-1$ в качестве подполя.

-- 02 июн 2014, 21:19 --

Sonic86 в сообщении #871087 писал(а):

julyk, опишите алгебраическое замыкание $\mathbb{Q}$ с $\sqrt[3]{2}$.

Я бы, все же, поаккуратнее обращался с терминами.
Алгебраическим замыканием $\mathbb Q$ будет поле алгебраических чисел.
А наименьшее поле, содержащее $\mathbb Q$ и $\sqrt[3]{2}$, это нечто иное.

[ex-math]

VAL
Видимо, это описка и имелось в виду алгебраическое расширение.

[julyk]

$\mathbb Q$[ $\sqrt[3]{2}$ ]$ =$ ${a + b\left(\sqrt[3]{2}\right)$ a,b \in \mathbb Q},$ вроде так.

-- 02.06.2014, 21:43 --

Дополнить $\sqrt[3]{2^2}$ может?

[ex-math]

Так какой у Вас базис в $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$?

[VAL]

ex-math в сообщении #871104 писал(а):

VAL
Видимо, это описка и имелось в виду алгебраическое расширение.

Наверняка.
Просто ТС уже собралась изучать алгебраические замыкания. Не вредно, конечно. Но - каждому овощу свое время.

[julyk]

Базис $\left(1, \sqrt[3]{2}\right)$

[ex-math]

Вроде мы уже выяснили, что по этому "базису" не удается разложить некоторые элементы поля.

-- 02.06.2014, 23:10 --

И даже идеи насчет дополнения у Вас были.

[julyk]

Дополним $\sqrt[3]{2^2},$ т.е. $\left(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2^2}\right)$, тогда сможем получить этот элемент.

[ex-math]

Хорошо. Теперь любой элемент раскладывается? Почему?

[julyk]

В первом примере мы добавляли эти самые корни. А тут пока нет. Предположу, что их тоже надо добавить, обозначала $q$ и $t.$ Итого пока $\left(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2^2},t,q\right)$

[ex-math]

Если мы говорим о $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$, то добавлять ничего не надо и степень расширения 3.

Если же мы говорим о поле разложения $x^3-2$, то добавить надо. Но $q+t=-\sqrt[3]2$, так что налицо линейная зависимость. Добавим только $q=\omega\sqrt[3]2$. Тогда и $q$ и $t$ разложатся по такому базису. Все ли элементы поля разложения у нас по этому базису теперь раскладываются? (Вспомните ситуацию с $\sqrt[3]2$.)

-- 03.06.2014, 00:03 --

Лучше наверно в другом порядке. Добавим корни $\sqrt[3]2$ и $\omega\sqrt[3]2$. Третий корень добавляется автоматически. Осталось посмотреть, сколько линейно независимых над $\mathbb Q$ произведений (у нас же должно получиться поле) добавленных элементов мы сможем наплодить.

[julyk]

$\left(1,\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2}\right)-$базис
$\{a_i+\sqrt[3]{2}b_i+\omega\sqrt[3]{2}_c_{i}+\omega\sqrt[3]{2^2}d_i\},a_i,b_i,_c_i,d_i\in \mathbb Q$-так могут выглядеть элементы(не уверена насчет последнего слагаемого)

[VAL]

julyk в сообщении #871240 писал(а):

$\left(1,\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2}\right)-$базис
$\{a_i+\sqrt[3]{2}b_i+\omega\sqrt[3]{2}c_{i}+\omega\sqrt[3]{2^2}d_i\},a_i,b_i,c_i,d_i\in \mathbb Q$-так могут выглядеть элементы(не уверена насчет последнего слагаемого)

Странно у Вас получается! В базисе три элемента, а в разложении по базису четыре слагаемых

Еще раз предлагаю действовать последовательно. Давайте сначала построим базис $\mathbb Q\left(\sqrt[3]2\right)$ над $\mathbb Q$. А потом уже будем с $\omega$ разбираться.

[julyk]

Хорошо:)
Вот есть у нас $\mathbb Q\left(\sqrt[3]{2}\right)/\mathbb Q.$ Базис $\left(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2^2}\right),$ три элемента, степень расширения 3.