Алгебра. Степень поля разложения.

[julyk]

Нашла). Степень расширения равна числу элементов в базисе, т.е. в данном случае 2.

[julyk]

Во втором случае, наверное, будет то же самое? Только элемент обозначить $q,$ например, базис тогда имеет вид $\{1,q\}$ и степень тоже 2.

[VAL]

julyk в сообщении #870945 писал(а):

Во втором случае, наверное, будет то же самое? Только элемент обозначить $q,$ например, базис тогда имеет вид $\{1,q\}$ и степень тоже 2.

Нет.

Поле разложения полинома $x^3-2$ можно построить как расширение поля $\mathbb Q(\omega)$. А затем (как я Вам и советовал) применить теорему о башне.

Хотя мне представляется, что естественнее "поменять этажи местами". То есть, сначала построить расширение поля $\mathbb Q$, в котором есть один корень полинома $x^3-2$. А уже затем присоединять $\omega$, чтобы получить остальные корни.

[julyk]

К $\mathbb Q\left(\omega\right)$ надо подсоединить $\sqrt{3} \sqrt[4]{2}$

[Sonic86]

julyk в сообщении #870959 писал(а):

К $\mathbb Q\left(\omega\right)$ надо подсоединить $\sqrt{3} \sqrt[4]{2}$

[VAL]

julyk в сообщении #870959 писал(а):

К $\mathbb Q\left(\omega\right)$ надо подсоединить $\sqrt{3} \sqrt[4]{2}$

Зачем?!
Вы же в первом же сообщении правильно указали один из корней. Его и присоединяйте.

[julyk]

Тогда $q=\sqrt[3]{2},$ строим $\mathbb Q\left(q\right)/\mathbb Q\left(\omega\right)$.

-- 02.06.2014, 13:26 --

Извините, я просто вообще не шарю(. И не могу это нигде толком найти.

[VAL]

julyk в сообщении #870980 писал(а):

Тогда $q=\sqrt[3]{2},$ строим $\mathbb Q\left(q\right)/\mathbb Q\left(\omega\right)$.

У Вас расширение обозначено как некое факторкольцо.
В процессе построения простого алгебраического расширения поля действительно рассматривают некое факоторкольцо. Но не то, что у Вас.

Факторизуют кольцо многочленов над полем (которое собираются расширить) по главному идеалу, порожденному неприводимым многочленом (корень которого собираются присоединить).

В Вашем случае это может выглядеть так:

На первом шаге построим расширение поля $\mathbb Q$, в котором $x^3-2$ будет иметь корень: $\mathbb Q(q)=Q[x]/(x^3-1)$. (Укажите полиномиальный базис $\mathbb Q(q)$ над $\mathbb Q$.)

На втором шаге построим $\mathbb Q(q,\omega)=Q(q)[x]/(x^2+x+1)$. (Укажите базисы $\mathbb Q(q,\omega)$ над $\mathbb Q(q)$ и над $\mathbb Q$.)

[Sonic86]

julyk в сообщении #870980 писал(а):

Извините, я просто вообще не шарю(. И не могу это нигде толком найти.

1. Постников Теория Галуа
2. Винберг - глава про теорию Галуа (если она там есть)
3. Кострикин - глава про теорию Галуа
4. Ван дер Варден - глава про теорию Галуа - если Вы бесстрашны
5. Артин Теория Галуа (не читал)
То, о чем Вы спрашиваете, где-то в самом начале есть

[julyk]

Так, я постаралась уложить пункт $a.$ Как это выглядит. Поле разложение - наименьшее поле, в котором многочлен раскладывается на множители. Надо его построить и найти степень. Многочлен $x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right).$ Корни 1 и $e^{\frac{2\pi i}{3}}.$ 1 есть в $\mathbb Q,$ а $e^{\frac{2\pi i}{3}}-$ нет. Строим расширение $\mathbb Q\left(\omega\right)/\mathbb Q.$ Элементы имеют вид $a_i +b_i\omega,a_i,b_i \in \mathbb Q.$ Базис $\left(1,\omega\right)$. Имеет размерность 2, т.е. степень 2. Конец первой пьесы.

Сейчас над вторым пунктом подумаю.

-- 02.06.2014, 20:13 --

VAL в сообщении #870987 писал(а):

На первом шаге построим расширение поля $\mathbb Q$, в котором $x^3-2$ будет иметь корень: $\mathbb Q(q)=Q[x]/(x^3-1)$. (Укажите полиномиальный базис $\mathbb Q(q)$ над $\mathbb Q$.)

На втором шаге построим $\mathbb Q(q,\omega)=Q(q)[x]/(x^2+x+1)$. (Укажите базисы $\mathbb Q(q,\omega)$ над $\mathbb Q(q)$ и над $\mathbb Q$.)

Не понимаю, почему вы смешиваете $x^3-1$ и $x^3-2$... Я приняла это просто за второй пункт. Или вы предлагаете решить, используя пункт $a$?

[Sonic86]

julyk в сообщении #871066 писал(а):

Или вы предлагаете решить, используя пункт $a$?

Можно решать независимо от 1-го пункта, можно с ним - так рассуждения просто чуть-чуть короче.

[julyk]

Попробую независимо, мне кажется, мне так будет проще. Решаем уравнение, получаем корни $x=\sqrt[3]{2}, x= \frac{1}{2}\left(-\sqrt[3]{2} + i\sqrt[3]{2}\sqrt{3}\right), x= \frac{1}{2}\left(-\sqrt[3]{2} - i\sqrt[3]{2}\sqrt{3}\right).$ Надо добавить корни. Обозначим $t=x= \frac{1}{2}\left(-\sqrt[3]{2} + i\sqrt[3]{2}\sqrt{3}\right),q=x= \frac{1}{2}\left(-\sqrt[3]{2} - i\sqrt[3]{2}\sqrt{3}\right).$
Элементы будут иметь вид $\sqrt[3]{2}a_i+tb_{i}+tc_{i}, a_i,b_i,c_i \in \mathbb Q.$
Базис $\left(\sqrt[3]{2},t,q\right),$ размерность 3. Где ошибки?:)

[ex-math]

У Вас же поле? Значит, $\sqrt[3]4=\sqrt[3]2\cdot\sqrt[3]2$ должен лежать в поле. Ну-ка разложите его по Вашему базису.

[Sonic86]

julyk, опишите алгебраическое замыкание $\mathbb{Q}$ с $\sqrt[3]{2}$.

[julyk]

Хм, попробовала, но не могу. Значит, не так. Подскажите, где ошибка?)

-- 02.06.2014, 20:58 --

Замыкание сейчас посмотрю.