Алгебра. Степень поля разложения.

[julyk]

Здравствуйте, помогите решить задачу. Найти степень поля разложения для полинома а) $x^3-1$; б) $x^3-2.$
Алгоритм: найти корни, построить поле разложения над $Q$.

Корень первого полинома - $x=1;$
Корень второго полинома - $x=\sqrt[3]{2}$.

Я не могу понять как делать второй шаг, т.е. строить поле разложения. Подскажите, пожалуйста, или отправьте меня в конкретный учебник на конкретные страницы).
Большое спасибо.

[nnosipov]

julyk в сообщении #870217 писал(а):

Корень первого полинома - $x=1;$
Корень второго полинома - $x=\sqrt[3]{2}$.

Нужно найти все корни каждого многочлена в поле комплексных чисел.

[julyk]

Для первого: $x=-\sqrt[3]{-1}, x=\left(-1\right)^\frac{2}{3}$
Для второго: $x=-\sqrt[3]{-2}, x=\left(-1\right)^\frac{2}{3} \sqrt[3]{2}$

[nnosipov]

julyk в сообщении #870223 писал(а):

Для первого: $x=-\sqrt[3]{-1}, x=\left(-1\right)^\frac{2}{3}$
Для второго: $x=-\sqrt[3]{-2}, x=\left(-1\right)^\frac{2}{3} \sqrt[3]{2}$

Не годится. Попробуйте ещё раз.

[julyk]

Поняла, для первого $x_{1}=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i,x_{2}=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i.$

Для второго могла накосячить, поэтому выпишу подробнее.
$\left(x-\sqrt[3]{2}\right)\left(x^2 + \sqrt[3]{2}x+ \sqrt[3]{2^2}\right)$

$$D=\left(\sqrt[3]{2}\right)^2 - 4\sqrt[3]{2^2} = -3\sqrt[3]{2^2};$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{-3\sqrt[3]{2^2}} = -\sqrt{-3}\cdot \sqrt[6]{2^2} = \sqrt{3}\left(i\right)\cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt{3}\sqrt[4]{2} i $$

$x_{1}=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}\sqrt[4]{2}}{2}i,x_{2}=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}\sqrt[4]{2}}{2}i$

Вроде так).

[Sonic86]

Выписывать кубический корень столь подробно в алгебраической форме нет особого смысла, достаточно писать $\exp\frac{2\pi i}{3}$, соотв-но, 2-е уравнение решается в одну строчку.

Ну теперь находите степень полей над $\mathbb{Q}$. Что такое степень расширения поля над основным полем?

[VAL]

julyk в сообщении #870243 писал(а):

Поняла, для первого $x_{1}=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i,x_{2}=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i.$

Для второго могла накосячить, поэтому выпишу подробнее.
$\left(x-\sqrt[3]{2}\right)\left(x^2 + \sqrt[3]{2}x+ \sqrt[3]{2^2}\right)$

$$D=\left(\sqrt[3]{2}\right)^2 - 4\sqrt[3]{2^2} = -3\sqrt[3]{2^2};$$

То есть, для того чтобы получить из поля рациональных чисел поле, в котором лежат все корни многочлена $x^3-2$ понадобилось сначала расширить $\mathbb Q$ помощью неприводимого над $\mathbb Q$ многочлена 3-й степени. А затем расширить $\left(x^2 + \sqrt[3]{2}x+ \sqrt[3]{2^2}\right)$ с помощью неприводимого над $\mathbb Q\left(\sqrt 3\right)$ многочлена 2-й степени x^2 + \sqrt[3]{2}x+ \sqrt[3]{2^2}$.

Собственно, поле разложения $x^3-2$ построено. По теореме о башне оно имеет над $\mathbb Q$ степень 6.
Не сложно явно выписать какой-либо его базис над $\mathbb Q$ и разложение произвольного элемента по этому базису.

[julyk]

То есть расширение имеет вид $\mathbb Q\left(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}\right)/ \mathbb Q?$

Значит элементы будут иметь вид $a_{1} + b_{1}\sqrt{3} + a_{2}\sqrt[3]{2} + b_{2}\sqrt{3}\sqrt[3]{2}, $ где $a_{i}, b_{i}-$ элементы из $\mathbb Q.$ Базис данного расширения равен $\left(1,\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, \sqrt{3}\sqrt[3]{2}\right).$

Объясните, пожалуйста, подробней про степень 6. И правильно ли я выписала расширение? С базисом, надеюсь, верно).

[Sonic86]

julyk в сообщении #870720 писал(а):

То есть расширение имеет вид $\mathbb Q\left(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}\right)/ \mathbb Q?$

Нет.
В структуре $\exp\frac{2\pi i}{3}$ разбираться нет необходимости. Обозначьте ее $\omega$ и все.

julyk в сообщении #870720 писал(а):

Значит элементы будут иметь вид $a_{1} + b_{1}\sqrt{3} + a_{2}\sqrt[3]{2} + b_{2}\sqrt{3}\sqrt[3]{2}, $ где $a_{i}, b_{i}-$ элементы из $\mathbb Q.$ Базис данного расширения равен $\left(1,\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, \sqrt{3}\sqrt[3]{2}\right).$

После того, как исправите ответ на предыдущий вопрос:
Как в данном базисе выражается $\sqrt[3]{4}$?

[julyk]

Предположу, что $\mathbb Q\left(w\right)/\mathbb Q\left(\sqrt{3}\right).$ Я представляю себе это так:сначала добавили $\sqrt{3},$ получили $\mathbb Q\left(\sqrt{3}\right)/\mathbb Q,$ а затем $w,$ получили $\mathbb Q\left(w\right)/ \mathbb Q\left(\sqrt{3}\right).$ Могу ошибаться, но пока ничего другого на ум не пришло.

[VAL]

julyk в сообщении #870780 писал(а):

Предположу, что $\mathbb Q\left(w\right)/\mathbb Q\left(\sqrt{3}\right).$ Я представляю себе это так:сначала добавили $\sqrt{3},$

Зачем?
Его вообще нет в поле разложения $x^3-2$.

[julyk]

Ааа, все)
Тогда $\mathbb Q\left(w\right)/\mathbb Q,$ вот. Элементы тогда $a_{i}+b_{i}w, a_{i},b_{i}$ из $\mathbb Q$

-- 02.06.2014, 07:07 --

Базис $\left(1, w\right)$

[Sonic86]

julyk в сообщении #870869 писал(а):

Тогда $\mathbb Q\left(w\right)/\mathbb Q,$ вот. Элементы тогда $a_{i}+b_{i}w, a_{i},b_{i}$ из $\mathbb Q$
Базис $\left(1, w\right)$

Ага, осталось степень расширения написать.
Теперь аналогично для расширения поля решениями уравнения $x^3-2$.

[julyk]

Расширение $\mathbb Q\left(w\right)$ над $\mathbb Q$ называется конечным, если $\mathbb Q\left(w\right)$ как векторное пространство над $\mathbb Q$ имеет конечную размерность, которая обозначается $[\mathbb Q\left(w\right): \mathbb Q].$ Это, я так понимаю, и есть та самая степень. Почему она равна 6?

[Sonic86]

julyk в сообщении #870881 писал(а):

Почему она равна 6?

Не, как раз $[\mathbb{Q}[\omega]:\mathbb{Q}]$ равна не 6, а немного меньше. Размерность 6 имеет другое расширение.
Вы делайте все прямо.