2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 10:12 


04/06/13
22
Цитата:
Понятно, что матрица диагонализуема (т. е. есть $n$ линейно независимых собственных векторов).

Разобрался, спасибо.
Цитата:
В (ровно) одном из собственных подпространств будет слишком много векторов. Если кроме этого подпространства есть ещё хотя бы одно (т. е. не все собственные значения различны одинаковы), то выкинем вектор из него и получим противоречие.

Ничего не понял. Можно подробнее?

-- 02.06.2014, 09:15 --

Цитата:
ИСН в сообщении #870894 писал(а):
kalbasa в сообщении #870886 писал(а):
$n + 1 = 3$
Ну и где Ваши три вектора?

$$
\begin{pmatrix}
0 \\
1 
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
​$$

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
kalbasa в сообщении #870907 писал(а):
$$
\begin{pmatrix}
0 \\
1 
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
​$$


Все три собственные?

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 10:29 


04/06/13
22
g______d в сообщении #870909 писал(а):
kalbasa в сообщении #870907 писал(а):
$$
\begin{pmatrix}
0 \\
1 
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
​$$


Все три собственные?

Ага, нет. Не все.
Я совсем запутался. :cry:

-- 02.06.2014, 09:37 --

Получается преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси $y$ в два раза нам не подходит.
Невозможно подобрать $n+1$-ый собственный вектор, подходящий под условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
kalbasa в сообщении #870911 писал(а):
Я совсем запутался. :cry:


Тогда попробуйте на этом же примере, что получится, если все три собственные.

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
kalbasa в сообщении #870911 писал(а):
Получается преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси $y$ в два раза нам не подходит.
Отож!
А знаете какую-нибудь матрицу, которая подходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 10:43 


04/06/13
22
g______d в сообщении #870914 писал(а):
kalbasa в сообщении #870911 писал(а):
Я совсем запутался. :cry:


Тогда попробуйте на этом же примере, что получится, если все три собственные.

Возьмем, например
$$
\begin{pmatrix}
1\\
0 
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
0\\
1 
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
2\\
0 
\end{pmatrix}
​$$
Получается, они не подходят под условие задачи, так как 1-ый и 3-ий линейно зависимы.

-- 02.06.2014, 09:45 --

ИСН в сообщении #870916 писал(а):
kalbasa в сообщении #870911 писал(а):
Получается преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси $y$ в два раза нам не подходит.
Отож!
А знаете какую-нибудь матрицу, которая подходит?

Теперь ни одной не знаю. Может таких не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Существуют 8-) 8-)

-- менее минуты назад --

Здесь в теме и примеры приводили несколько раз, и полный ответ уже имеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 11:07 


04/06/13
22
ИСН в сообщении #870922 писал(а):
Существуют 8-) 8-)

-- менее минуты назад --

Здесь в теме и примеры приводили несколько раз, и полный ответ уже имеется.

А, стоп, тождественный оператор подходит.
Но тогда подходят любые скалярные матрицы, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В смысле - тождественный оператор умножить на любое число? Да. А только ли они? Да? Нет? Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 11:30 


04/06/13
22
ИСН в сообщении #870929 писал(а):
В смысле - тождественный оператор умножить на любое число? Да. А только ли они? Да? Нет? Почему?

Интуитивно кажется, что только они. То есть при этих преобразованиях все векторы остаются на своих местах (возможно увеличиваются или уменьшаются в размерах).
Не понимаю почему при остальных преобразованиях на месте не может остаться более $n$ векторов?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group