n + 1 собственных векторов линейного преобразования

[kalbasa]

Цитата:

Понятно, что матрица диагонализуема (т. е. есть $n$ линейно независимых собственных векторов).

Разобрался, спасибо.

Цитата:

В (ровно) одном из собственных подпространств будет слишком много векторов. Если кроме этого подпространства есть ещё хотя бы одно (т. е. не все собственные значения различны одинаковы), то выкинем вектор из него и получим противоречие.

Ничего не понял. Можно подробнее?

-- 02.06.2014, 09:15 --

Цитата:

ИСН в сообщении #870894 писал(а):

kalbasa в сообщении #870886 писал(а):

$n + 1 = 3$

Ну и где Ваши три вектора?

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ​$$​

[g______d]

kalbasa в сообщении #870907 писал(а):

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ​$$​

Все три собственные?

[kalbasa]

g______d в сообщении #870909 писал(а):

kalbasa в сообщении #870907 писал(а):

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ​$$​

Все три собственные?

Ага, нет. Не все.
Я совсем запутался.

-- 02.06.2014, 09:37 --

Получается преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси $y$ в два раза нам не подходит.
Невозможно подобрать $n+1$-ый собственный вектор, подходящий под условие.

[g______d]

kalbasa в сообщении #870911 писал(а):

Я совсем запутался.

Тогда попробуйте на этом же примере, что получится, если все три собственные.

[ИСН]

kalbasa в сообщении #870911 писал(а):

Получается преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси $y$ в два раза нам не подходит.

Отож!
А знаете какую-нибудь матрицу, которая подходит?

[kalbasa]

g______d в сообщении #870914 писал(а):

kalbasa в сообщении #870911 писал(а):

Я совсем запутался.

Тогда попробуйте на этом же примере, что получится, если все три собственные.

Возьмем, например
$$ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix} ​$$​
Получается, они не подходят под условие задачи, так как 1-ый и 3-ий линейно зависимы.

-- 02.06.2014, 09:45 --

ИСН в сообщении #870916 писал(а):

kalbasa в сообщении #870911 писал(а):

Получается преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси $y$ в два раза нам не подходит.

Отож!
А знаете какую-нибудь матрицу, которая подходит?

Теперь ни одной не знаю. Может таких не существует?

[ИСН]

Существуют

-- менее минуты назад --

Здесь в теме и примеры приводили несколько раз, и полный ответ уже имеется.

[kalbasa]

ИСН в сообщении #870922 писал(а):

Существуют

-- менее минуты назад --

Здесь в теме и примеры приводили несколько раз, и полный ответ уже имеется.

А, стоп, тождественный оператор подходит.
Но тогда подходят любые скалярные матрицы, верно?

[ИСН]

В смысле - тождественный оператор умножить на любое число? Да. А только ли они? Да? Нет? Почему?

[kalbasa]

ИСН в сообщении #870929 писал(а):

В смысле - тождественный оператор умножить на любое число? Да. А только ли они? Да? Нет? Почему?

Интуитивно кажется, что только они. То есть при этих преобразованиях все векторы остаются на своих местах (возможно увеличиваются или уменьшаются в размерах).
Не понимаю почему при остальных преобразованиях на месте не может остаться более $n$ векторов?