Например, доказательство стандартного предела с синусом.
следствие правила Лопиталя
для которого, в свою очередь, всего-то и требуется лишь стандартный предел с синусом, а больше почти что и ничего
формула площади круга или сектора, требующая интеграла.
Не требующая. Не требующая даже и точного определения понятия "площадь": круг -- всё-таки очень простая фигура.
для доказательства достаточны лишь оценки длины дуги, получаемые из элементарной геометрии, а не их точные значения.
Тут проблема вовсе не в точном значении, а в корректности самого понятия длины дуги. Для которого, впрочем, действительно достаточно элементарной геометрии. Почти достаточно: без представления о вещественных числах всё-таки не обойтись.