Выразить несобственный интеграл через эйлеровы

[INFIltr@TOR242]

Вот, собственно, интеграл

$\int\limits_0^1 \left(\cfrac{x}{x^2+a^2}\right)^p\cfrac{\ln x}{x} dx$

Заменой (более подходящей не нашел, уж больно логарифм меня пугает)

$x=e^{-t}$

пришел к выражению

&-\int_0^\infty\limits((a^2+1)\ch t+(a^2-1)\sh t)^{-p}tdt&

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".


После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[ИСН]

Разверните ch и sh, гораздо упростится же.

[INFIltr@TOR242]

$-\int\limits_0^\infty (e^{-t}+e^ta^2)^{-p}tdt$
Дальше надо бы сделать еще одну замену, но большинство из них вернет логарифм или сделает "плохими" пределы

[provincialka]

Не задумывалась над этим конкретным примером, но у меня смутное подозрение, что логарифм появляется, когда дифференцируешь интеграл по параметру, а именно по $p$.

[ИСН]

А, ну да, я почему-то подумал про интеграл по всей прямой, а он не по всей.
Ну тогда как советует provincialka: дифференцированием по параметру. Только надо понять, по какому. Их там больше, чем кажется.

[INFIltr@TOR242]

Можно ввести новый параметр, например f :

$\frac{d(x^f)}{df}=x^f\ln x$

Затем в ответе продифференцировать выражение по f и взять f=0

[Otta]

INFIltr@TOR242
Можно-то можно, только ничего не дает. Вы уверены, что интеграл именно такой?

[INFIltr@TOR242]

Точно такой, подходил к преподу, спрашивал его. Он сказал, что интеграл написан правильно и что нужно решать именно с помощью введения параметра. Сказал, что должна бэта функция получится. Все вроде бы удачно получается, вот только "a" никак не хочет убираться из знаменателя.

[Otta]

Понятно, что он если решается, то именно с помощью введения параметра. Но бета-функция... неполная, может, как-нить и вылезет, а вот собственно бета - что-то я сильно сомневаюсь. Именно потому, что $a$.

[INFIltr@TOR242]

Без "a" все было бы просто...

[Otta]

Дело не в его наличии, дело в непривязанности к пределам интегрирования.

-- 26.05.2014, 20:53 --

Скорее всего, верхний предел в интеграле плюс бесконечность. Даже при таком исправлении мало работы не будет. Но хоть как-то, да будет сводиться.

-- 26.05.2014, 21:04 --

Да, такой, исправленный интеграл сводится. Кстати, красиво получается.

[INFIltr@TOR242]

$const*B(K+1/4,K-1/4)$ что-то вроде этого

[Otta]

Неа.