Вот возьмем, например, систему

. Возьмем, например, многочлен

(я по секрету скажу, что он лежит в идеале

). Как Вы его поделите на систему?
Получается надо составить базис Грёбнера из системы и проверить, делится ли без остатка многочлен

на базис. Если делится, то у него то же множество решений, как у системы.
У Вас в определении скобочки стоят вокруг

и

, Вы про них забыли. Что они означают?
Да забыл.

. Слева - старшее слагаемое образующего идеала, справа - получается все старшие слагаемые базиса.

То есть если старшее слагаемое образующего идеала совпадет хоть с одним старшим слагаемым из некого множества, то это множество можно назвать базисом Грёбнера.
Это идеал, порожденный многочленами

, да. Его определение Вы знаете? Какие многочлены кроме

будут лежать в этом идеале?
Своими словами определение могу написать.
![$h \in I, g \in R[x] : hg, gh \in I.$ $h \in I, g \in R[x] : hg, gh \in I.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/c/41cbcfdaf5b52283cc27debef7745bf082.png)
Идеал замкнут относительно сложения.

- полиномы.
В этом идеале будут лежать многочлены, удовлетворяющие определению. То есть получается в идеале будут полиномы, полученные после перемножения образующего с любым многчленом из кольца.
Только вот нигде не указано какой полином будет образующим. Может весь идеал?
Просто в числовом варианте есть образующий. Думаю и тут он есть.