Базис Грёбнера.

[Xaositect]

Если у нас есть система уравнений $F_1 = F_2 = \dots = F_k = 0$ с множеством решений $X$, то все многочлены идеала $I = (F_1,F_2,\dots,F_k)$ равны $0$ на $X$. Можете доказать?

[misha89]

Xaositect, Можно проверить разделив каждый многочлен из идеала на систему. Если делится без остатка, то множество решений совпадает.

-- 25.05.2014, 02:05 --

Xaositect, а! Исходя из определения.

Базис Грёбнера $S = \{1\}$ для идеала $A: LT(A) = LT(1), $ что никак не вяжется, т.к. старшее слагаемое из идеала никак не будет единицей. Верно?

[Xaositect]

misha89 в сообщении #867436 писал(а):

Xaositect, Можно проверить разделив каждый многочлен из идеала на систему. Если делится без остатка, то множество решений совпадает.

Нет, если бы можно было просто разделить на систему, то никакие базисы Гребнера были бы не нужны.
Вот возьмем, например, систему $x^2 - y^2 = x^2 + y^2 - 1 = x - 2y^2 = 0$. Возьмем, например, многочлен $x + y$ (я по секрету скажу, что он лежит в идеале $I$). Как Вы его поделите на систему?

misha89 в сообщении #867436 писал(а):

Базис Грёбнера $S = \{1\}$ для идеала $A: LT(A) = LT(1), $ что никак не вяжется, т.к. старшее слагаемое из идеала никак не будет единицей. Верно?

У Вас в определении скобочки стоят вокруг $LT(A)$ и $LT(1)$, Вы про них забыли. Что они означают?

[misha89]

Xaositect, правильно ли я понимаю, что запись $I=(f_1, f_2, ..., f_n)$ означает элементы идеала? Что некие $f_1, f_2, ..., f_n$ лежат в идеале и образуют его сами собой?

Это встречный вопрос, чтобы убедиться в кое-чем. А потом я отвечу на ваши вопросы.

[Xaositect]

misha89 в сообщении #867441 писал(а):

Xaositect, правильно ли я понимаю, что запись $I=(f_1, f_2, ..., f_n)$ означает элементы идеала? Что некие $f_1, f_2, ..., f_n$ лежат в идеале и образуют его сами собой?

Это идеал, порожденный многочленами $f_1,f_2,\dots,f_n$, да. Его определение Вы знаете? Какие многочлены кроме $f_1,f_2,\dots,f_n$ будут лежать в этом идеале?

[misha89]

Xaositect в сообщении #867438 писал(а):

Вот возьмем, например, систему $x^2 - y^2 = x^2 + y^2 - 1 = x - 2y^2 = 0$. Возьмем, например, многочлен $x + y$ (я по секрету скажу, что он лежит в идеале $I$). Как Вы его поделите на систему?

Получается надо составить базис Грёбнера из системы и проверить, делится ли без остатка многочлен $x+y$ на базис. Если делится, то у него то же множество решений, как у системы.

Xaositect в сообщении #867438 писал(а):

У Вас в определении скобочки стоят вокруг $LT(A)$ и $LT(1)$, Вы про них забыли. Что они означают?

Да забыл. $(LT(A)) = (LT(1))$. Слева - старшее слагаемое образующего идеала, справа - получается все старшие слагаемые базиса. $(LT(A)) = (LT(g_1), \ldots, LT(g_s)).$ То есть если старшее слагаемое образующего идеала совпадет хоть с одним старшим слагаемым из некого множества, то это множество можно назвать базисом Грёбнера.

Xaositect в сообщении #867442 писал(а):

Это идеал, порожденный многочленами $f_1,f_2,\dots,f_n$, да. Его определение Вы знаете? Какие многочлены кроме $f_1,f_2,\dots,f_n$ будут лежать в этом идеале?

Своими словами определение могу написать. $h \in I, g \in R[x] : hg, gh \in I.$ Идеал замкнут относительно сложения.
$h, g$ - полиномы.
В этом идеале будут лежать многочлены, удовлетворяющие определению. То есть получается в идеале будут полиномы, полученные после перемножения образующего с любым многчленом из кольца.

Только вот нигде не указано какой полином будет образующим. Может весь идеал?

Просто в числовом варианте есть образующий. Думаю и тут он есть.

[Xaositect]

Вы сильно путаетесь в основных понятиях и в том, что откуда следует. Вам надо читать учебник. Например, Кокс, Литтл, О'Ши "Идеалы, многообразия, алгоритмы", первые две главы. Если будут вопросы, спрашивайте.