Базис Грёбнера.

[misha89]

DLL, $A=\{x*x+y,x^2+1\} GroebnerBasis[A,\{x,y\}]$

Вот такой синтаксис был и математика показала, что базис равен исходной системе.

Или как надо вычислять базис Грёбнера?

[Nemiroff]

Я, вообще-то, для вас пост написал. Чтоб не было убогого болда в формулах.

[misha89]

Nemiroff, я вас понял, исправлюсь.

[DLL]

У меня на компьютере Mathematica не стоит. Не уверен, но возможно проблема со знаком "*"...

[misha89]

С алгоритмом разобрался. Осталось только его выполнить.

Вопрос: решить в пространстве комплексных векторов означает, что ответ будет вида $\{(a+bi), (c+di), k+mi)\}?$

[DLL]

Ну да множество троек комплексных чисел (x,y,z).

[Deggial]

DLL, замечание за неоформление формул $\TeX$ом

[Nemiroff]

In[2]:= GroebnerBasis[{x^2 y - z^3, 2 x y - 4 z - 1, z - y^2,   x^3 - 4 y z}, {x, y, z}]

Out[2]= {1}

[misha89]

Да, нашел у себя ошибку. Получается, что исходная система порождает все кольцо.

Но, тогда как воспринимать задание "Используя базис Грёбнера, решить систему.."? Где тут вообще смысл?

Если тут базис Грёбнера равен 1, то получается, подходят любые тройки комплексных чисел? Или что решений бесконечно много?

При этом Solve[{x^2 y - z^3 == 0, 2 x y - 4 z - 1 == 0, z - y^2 == 0,
x^3 - 4 y z == 0}, {x, y, z}]

у исходной системы в комплексных числах нет решений.

Не понимаю.

[Ms-dos4]

У вас базис Гребнера содержит константу(ненулевую)? Значит всё, система несовместна (над полем комплексных чисел).

[misha89]

Ms-dos4, почему? поподробнее объясните, пожалуйста.

[Ms-dos4]

А учебников/лекций у вас нет?

[misha89]

Ms-dos4, ничего не сказано про константу.

[Xaositect]

А определение базиса Гребнера можете написать?

[misha89]

Xaositect, Конечное множество $S = \{g_1, \ldots, g_s\}$ идеала $A$ называется базисом Грёбнера для идеала $A$, если $(LT(A)) = (LT(g_1), \ldots, LT(g_s)).$

Цитата:

Следствие 3.23. Система S несовместна тогда, и только то-
гда, когда 1 ∈ I(S).

Теорема 5.1. Система S несовместна тогда и только тогда,
когда базис Грёбнера идеала I(S) содержит ненулевую константу.

Доказательство. Если ненулевая константа принадлежит I(S),
то система несовместна. Наоборот, если S несовместна, то по след-
ствию 3.23 1 ∈ I(S). Поэтому старший член некоторого элемента базиса
Грёбнера делит 1 и потому есть константа. 

Вот кое-что нашел в сети, но это просто чудо-доказательство, которое совершенно ничего мне не доказало.
Отсюда взято http://www.mccme.ru/free-books/dubna/arjantsev.pdf

Объясните мне пожалуйста: почему система несовместна, если базис Грёбнера содержит ненулевую константу?