Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачкой:

Найти наибольшее и наименьшее значения производной по направлению функции $f(x,y) = 3x^2-6xy+y^2$ в точке $M_{0} \left ( \frac{1}{3}; \frac{1}{2} \right )$.

Нашел такую формулу:

$$\max_{\{l\}} \frac{\partial f}{\partial l} = |\vec{\operatorname{grad}}(z)| = \sqrt{ \left ( \frac{\partial f}{\partial x} \right )^2 + \left ( \frac{\partial f}{\partial y} \right )^2}$$

Тогда, искомое максимальное значение будет:

$$\max_{\{l\}} \frac{\partial f}{\partial l} |_{M_{0}} = \sqrt{ \left ( \frac{\partial f}{\partial x} |_{M_{0}} \right )^2 + \left ( \frac{\partial f}{\partial y} |_{M_{0}} \right )^2}$$

Верно ли это?

А вот для минимального значения формулу найти не могу, и сообразить тоже... Подскажите, пожалуйста

[ewert]

Limit79 в сообщении #866522 писал(а):

Нашел такую формулу:

$$\max_{\{l\}} \frac{\partial f}{\partial l} = |\vec{\operatorname{grad}}(z)| = \sqrt{ \left ( \frac{\partial f}{\partial x} \right )^2 + \left ( \frac{\partial f}{\partial y} \right )^2}$$

Вы совершенно напрасно её нашли. Потому что дело вовсе не в формулах, а в геометрическом смысле градиента. Который, в свою очередь, вытекает из выражения производной по направлению через градиент и вектор, задающий направление, после чего что минимум, что максимум той производной совершенно очевидны.

Хотя формулировка задачки нелепа, да.

[Limit79]

ewert в сообщении #866526 писал(а):

а в геометрическом смысле градиента

Вектор $\vec{\operatorname{grad}} z$ в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.

ewert в сообщении #866526 писал(а):

Который, в свою очередь, вытекает из выражения производной по направлению через градиент и вектор, задающий направление

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{i} ( \vec{\operatorname{grad}} f)$$

Это оно?

[Munin]

Наименьшее - надо уточнить, со знаком или по модулю. Если со знаком - то это будет минус наибольшее, в противоположном направлении. Если по модулю - то это будет нуль, в перпендикулярном направлении (кроме 1-мерного случая).

[ewert]

Limit79 в сообщении #866537 писал(а):

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{i} ( \vec{\operatorname{grad}} f)$$

Это оно?

Это, возможно, и было бы оно, если б имело хоть какой-то смысл. А оно не имеет ни малейшего. Например, $i$ в правой части наблюдается, в левой же -- ни разу.

[Limit79]

Munin в сообщении #866542 писал(а):

Если со знаком - то это будет минус наибольшее

То есть модуль антиградиента в данной точке?

ewert в сообщении #866543 писал(а):

Это, возможно, и было бы оно, если б имело хоть какой-то смысл. А оно не имеет ни малейшего. Например, $i$ в правой части наблюдается, в левой же -- ни разу.

У меня ровно так написано

[svv]

Так на что проекция? В формуле Вы написали — на $i$. Что такое $i$? Что там должно стоять по смыслу?

[ewert]

Limit79 в сообщении #866546 писал(а):

У меня ровно так написано

Сожгите немедленно. Ну или отредактируйте явную очипятку (латинские буквы -- они, знаете ли, некоторые так друг на дружку похожи...)

[Limit79]

svv в сообщении #866547 писал(а):

Так на что проекция?

На направление.

ewert

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{l} ( \vec{\operatorname{grad}} f)$$

?

[svv]

Там стоит маленькое эль с ещё меньшей черточкой — символом вектора.

[Limit79]

svv

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{\vec{l}} ( \vec{\operatorname{grad}} f)$$

ewert в сообщении #866526 писал(а):

дело вовсе не в формулах, а в геометрическом смысле градиента. Который, в свою очередь, вытекает из выражения производной по направлению через градиент и вектор, задающий направление, после чего что минимум, что максимум той производной совершенно очевидны.

Но вот этого я так и не понял.

[svv]

Теперь только я постиг все тонкости их обозначений. Вектор они обозначают стрелочкой, а направление черточкой, и там именно черточка, т.е. не вектор эль, а направление эль.

[Limit79]

svv в сообщении #866559 писал(а):

Теперь только я постиг все тонкости их обозначений. Вектор они обозначают стрелочкой, а направление черточкой, и там именно черточка, т.е. не вектор эль, а направление эль.

Тогда все таки изначальная формулировка верна

[svv]

Пусть $\vec l$ всё-таки единичный вектор. Как Вы можете тогда по-другому записать правую часть?

[Limit79]

svv

$$\text{пр}_{\vec{l}} ( \vec{\operatorname{grad}} f) = \frac{( \vec{\operatorname{grad}} f) \cdot \vec{l}}{|\vec{l}|}$$

Если $\vec{l}$ - единичный вектор, то:

$$\text{пр}_{\vec{l}} ( \vec{\operatorname{grad}} f) = ( \vec{\operatorname{grad}} f) \cdot \vec{l}$$