2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:29 
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачкой:

Найти наибольшее и наименьшее значения производной по направлению функции $f(x,y) = 3x^2-6xy+y^2$ в точке $M_{0} \left ( \frac{1}{3}; \frac{1}{2} \right )$.

Нашел такую формулу: $$\max_{\{l\}} \frac{\partial f}{\partial l} = |\vec{\operatorname{grad}}(z)| = \sqrt{ \left  ( \frac{\partial f}{\partial x} \right )^2 + \left  ( \frac{\partial f}{\partial y} \right )^2}$$

Тогда, искомое максимальное значение будет: $$\max_{\{l\}} \frac{\partial f}{\partial l}  |_{M_{0}} =  \sqrt{ \left  ( \frac{\partial f}{\partial x} |_{M_{0}} \right )^2 + \left  ( \frac{\partial f}{\partial y} |_{M_{0}} \right )^2}$$

Верно ли это?

А вот для минимального значения формулу найти не могу, и сообразить тоже... Подскажите, пожалуйста :|

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:34 
Limit79 в сообщении #866522 писал(а):
Нашел такую формулу: $$\max_{\{l\}} \frac{\partial f}{\partial l} = |\vec{\operatorname{grad}}(z)| = \sqrt{ \left  ( \frac{\partial f}{\partial x} \right )^2 + \left  ( \frac{\partial f}{\partial y} \right )^2}$$

Вы совершенно напрасно её нашли. Потому что дело вовсе не в формулах, а в геометрическом смысле градиента. Который, в свою очередь, вытекает из выражения производной по направлению через градиент и вектор, задающий направление, после чего что минимум, что максимум той производной совершенно очевидны.

Хотя формулировка задачки нелепа, да.

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:43 
ewert в сообщении #866526 писал(а):
а в геометрическом смысле градиента

Вектор $\vec{\operatorname{grad}} z$ в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.

ewert в сообщении #866526 писал(а):
Который, в свою очередь, вытекает из выражения производной по направлению через градиент и вектор, задающий направление

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{i} ( \vec{\operatorname{grad}} f)$$

Это оно? :-)

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:46 
Аватара пользователя
Наименьшее - надо уточнить, со знаком или по модулю. Если со знаком - то это будет минус наибольшее, в противоположном направлении. Если по модулю - то это будет нуль, в перпендикулярном направлении (кроме 1-мерного случая).

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:46 
Limit79 в сообщении #866537 писал(а):
$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{i} ( \vec{\operatorname{grad}} f)$$

Это оно? :-)

Это, возможно, и было бы оно, если б имело хоть какой-то смысл. А оно не имеет ни малейшего. Например, $i$ в правой части наблюдается, в левой же -- ни разу.

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:51 
Munin в сообщении #866542 писал(а):
Если со знаком - то это будет минус наибольшее

То есть модуль антиградиента в данной точке?

ewert в сообщении #866543 писал(а):
Это, возможно, и было бы оно, если б имело хоть какой-то смысл. А оно не имеет ни малейшего. Например, $i$ в правой части наблюдается, в левой же -- ни разу.


Изображение


У меня ровно так написано :|

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:53 
Аватара пользователя
Так на что проекция? В формуле Вы написали — на $i$. Что такое $i$? Что там должно стоять по смыслу?

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:54 
Limit79 в сообщении #866546 писал(а):
У меня ровно так написано :|

Сожгите немедленно. Ну или отредактируйте явную очипятку (латинские буквы -- они, знаете ли, некоторые так друг на дружку похожи...)

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:57 
svv в сообщении #866547 писал(а):
Так на что проекция?

На направление.

ewert
$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{l} ( \vec{\operatorname{grad}} f)$$ ?

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 18:59 
Аватара пользователя
Там стоит маленькое эль с ещё меньшей черточкой — символом вектора.

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 19:02 
svv
$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{\vec{l}} ( \vec{\operatorname{grad}} f)$$

ewert в сообщении #866526 писал(а):
дело вовсе не в формулах, а в геометрическом смысле градиента. Который, в свою очередь, вытекает из выражения производной по направлению через градиент и вектор, задающий направление, после чего что минимум, что максимум той производной совершенно очевидны.

Но вот этого я так и не понял.

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 19:08 
Аватара пользователя
Теперь только я постиг все тонкости их обозначений. Вектор они обозначают стрелочкой, а направление черточкой, и там именно черточка, т.е. не вектор эль, а направление эль.

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 19:09 
svv в сообщении #866559 писал(а):
Теперь только я постиг все тонкости их обозначений. Вектор они обозначают стрелочкой, а направление черточкой, и там именно черточка, т.е. не вектор эль, а направление эль.

Тогда все таки изначальная формулировка верна :-)

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 19:11 
Аватара пользователя
Пусть $\vec l$ всё-таки единичный вектор. Как Вы можете тогда по-другому записать правую часть?

 
 
 
 Re: Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению
Сообщение22.05.2014, 19:14 
svv
$$\text{пр}_{\vec{l}} ( \vec{\operatorname{grad}} f) = \frac{( \vec{\operatorname{grad}} f) \cdot \vec{l}}{|\vec{l}|}$$

Если $\vec{l}$ - единичный вектор, то: $$\text{пр}_{\vec{l}} ( \vec{\operatorname{grad}} f) = ( \vec{\operatorname{grad}} f) \cdot \vec{l}$$

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group