Наибольшее и наименьшее значения производной по направдению

[svv]

Да. И это равно модулю градиента на косинус угла между градиентом и направлением. Первый множитель неотрицательный и от направления не зависит, т.е. при рассмотрении различных направлений при заданной функции и заданной точке это постоянный коэффициент. А косинус — вещь понятная, меняется от и до.

[Limit79]

svv
То есть

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{\vec{l}} ( \vec{\operatorname{grad}} f) = \frac{( \vec{\operatorname{grad}} f) \cdot \vec{l}}{|\vec{l}|} = ( \vec{\operatorname{grad}} f) \cdot \vec{l} = |\vec{\operatorname{grad}} f| \cdot \cos(\vec{\operatorname{grad}} f,\vec{l})$$

И, соответственно, максимальное значение производной по направлению в данной точке будет равно значению градиента в данной точке, а минимальное - этому же значению, только с минусом?

[svv]

Удивительно, но это так.

[Limit79]

svv
Понял!

svv
ewert
Munin
Спасибо за помощь, господа!

[Limit79]

Хотел уточнить: формула

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{пр}_{\vec{l}} ( \vec{\operatorname{grad}} f) = \frac{( \vec{\operatorname{grad}} f) \cdot \vec{l}}{|\vec{l}|} = ( \vec{\operatorname{grad}} f) \cdot \vec{l} = |\vec{\operatorname{grad}} f| \cdot \cos(\vec{\operatorname{grad}} f,\vec{l})$$

справедлива для любого, не обязательно единичного, вектора $\vec{l}$ ?

Ведь из скалярного произведения вылезет $|\vec{l}|$ и сократится с $|\vec{l}|$ в знаменателе.

[ewert]

Limit79 в сообщении #866608 писал(а):

справедлива для любого, не обязательно единичного, вектора $\vec{l}$ ?

Конечно.

В этой формуле критический момент -- это что она именно про скалярное произведение, из чего всё и следует. Остальное -- уже лишь необходимые и напрашивающиеся уточнения.

-- Чт май 22, 2014 21:35:55 --

А, пардон -- кроме очевидной нелепицы в четвёртом выражении из пяти.

[Limit79]

ewert в сообщении #866611 писал(а):

А, пардон -- кроме очевидной нелепицы в четвёртом выражении из пяти.

Оно справедливо, если $|\vec{l}|=1$. Для произвольного вектора, это выражение надо оттуда убрать.

[Munin]

Limit79 в сообщении #866546 писал(а):

То есть модуль антиградиента в данной точке?

Оу. Что такое антиградиент?

Если модуль - то это будет что-то положительное, а должно быть отрицательное :-)

И не изобретайте слов и понятий от себя.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #866618 писал(а):

Оу. Что такое антиградиент?

Это некий стандартный термин. Правда, не для этой темы.

[Limit79]

Munin в сообщении #866618 писал(а):

Что такое антиградиент?

Munin в сообщении #866618 писал(а):

И не изобретайте слов и понятий от себя.

Оно общепринятое, насколько я знаю.

Цитата:

Антиградиент -- вектор, компоненты которого по абсолютной величине совпадают с компонентами градиента функции, но имеют противоположный знак.

[ewert]

Limit79 в сообщении #866626 писал(а):

Антиградиент -- вектор, компоненты которого по абсолютной величине совпадают с компонентами градиента функции, но имеют противоположный знак.

Это хорошо, но ещё лучше бы понимать, в каком контексте этот термин уместен, а в каком нет. В данном -- точно нет.

[Limit79]

ewert в сообщении #866629 писал(а):

Это хорошо, но ещё лучше бы понимать, в каком контексте этот термин уместен, а в каком нет. В данном -- точно нет.

Это да, не спорю

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #866625 писал(а):

Это некий стандартный термин.

Да. Извините.