Эфиристы

[SergeyGubanov]

В другой ветке началась дискуссия с epros про отрицательную плотность энергии гравитационного поля в окрестности планеты (поле Шварцшильда). Моя позиция заключается в том, что плотность энергии гравитационного поля $\varepsilon_g$ в системе отсчёта с времениподобным ортом $e^{\mu}_{(0)}$ есть

$$ \varepsilon_g = - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu} \, e^{\mu}_{(0)} e^{\nu}_{(0)} \eqno(1). $$

И в случае поля Шварцшильда равна нулю (так как $G_{\mu \nu} = 0$). С этим не согласен epros. Он абсолютно уверен, что в окрестности планеты плотность энергии гравитационного поля не равна нулю (а скорее отрицательна) и предлагает мысленный эксперимент с подниманием камня над планетой:

epros в сообщении #863523 писал(а):

Речь идёт о том, что для того, чтобы поле убрать, энергию придётся затратить, а не получить. Вы же не станете оспаривать, что для того, чтобы оторвать от Земли тяжёлый камень и поднять его на высоту в километр, придётся затратить энергию? А гравитационное поле в приповерхностном километровом слое в результате этого не возрастёт, а уменьшится.

Иллюстрация с камнем хороша в Ньютоновой теории, а в ОТО она превращается в задачу двух тел (у которой не известно решения), поэтому epros предложил рассмотреть подъём над планетой массивного сферического слоя:

epros в сообщении #864079 писал(а):

А во-вторых, если Вы вдруг ньютоновское приближение не считаете достаточно точным ( ) и непременно всё хотите рассчитать в ОТО, то я Вам могу подсказать, как решить задачку с подниманием камней: Нужно всего лишь рассмотреть сферически симметричную задачу, для неё аналитическое решение легко находится.

Чтобы тема не затерялась выношу её в отдельную ветку. Основной вопрос дискуссии: чему же равна плотность энергии гравитационного поля в ОТО?

Чего-то в этом есть (в поднимании сферического слоя), но как из этого получить какую-то другую формулу (не (1)) для плотности энергии гравитационного поля я пока не понимаю.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #865988 писал(а):

Моя позиция заключается в том, что плотность энергии гравитационного поля $\varepsilon_g$ в системе отсчёта с времениподобным ортом $e^{\mu}_{(0)}$ есть

$$ \varepsilon_g = - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu} \, e^{\mu}_{(0)} e^{\nu}_{(0)} \eqno(1). $$

Лучше сразу забудьте об этом и начните с самого начала: С сил и перемещений.

SergeyGubanov в сообщении #865988 писал(а):

Чего-то в этом есть (в поднимании сферического слоя), но как из этого получить какую-то другую формулу (не (1)) для плотности энергии гравитационного поля я пока не понимаю.

А в чём трудности? Трудно посчитать силу, необходимую для поднятия сферического слоя массой $\Delta m$? Или трудно посчитать перемещение? Или трудно понять, каким образом изменится гравитационное поле в приповерхностном слое (в единственном месте, где оно изменится)?

Я могу сразу Вам сказать, что плотность гравитационной энергии выразится как $g^2$ с неким отрицательным коэффициентом, где $g$ — ускорение свободного падения (не путать со второй производной радиальной координаты по временной координате). Если сложно сразу получить конкретную формулу, то постарайтесь хотя бы качественно понять почему эта величина — существенно отрицательна.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #865988 писал(а):

Основной вопрос дискуссии: чему же равна плотность энергии гравитационного поля в ОТО?

Вроде этот вопрос неоднократно обсуждался. Если делать расчеты через псевдотензор, введенный в ОТО , например в ЛЛ-2, то можно получить любое число и любой знак. Это зависит от выбора системы координат.

[epros]

schekn в сообщении #866016 писал(а):

Вроде этот вопрос неоднократно обсуждался. Если делать расчеты через псевдотензор, введенный в ОТО , например в ЛЛ-2, то можно получить любое число и любой знак. Это зависит от выбора системы координат.

Здесь предлагалось считать не через псевдотензор, а через поднимание камней. Псевдотензоры обладают калибровочной инвариантностью, поэтому с ними не всё так просто.

А система координат здесь одна: Шварцшильдовская статическая.

[schekn]

epros в сообщении #866023 писал(а):

А система координат здесь одна: Шварцшильдовская статическая.

Тогда еще раз объясните. Мы имеем шар , радиуса а ( шварцшильдовский) и куда какой слой мы перемещаем с этого шара?

[epros]

schekn в сообщении #866034 писал(а):

Тогда еще раз объясните. Мы имеем шар , радиуса а ( шварцшильдовский) и куда какой слой мы перемещаем с этого шара?

Поднимаем над шаром на высоту $\Delta l$ слой массой $\Delta m$. Чтобы у Вас не возникало вопросов, откуда эта масса возьмётся, можете рассматривать не шар, а тонкостенную сферу массой $M$: поднимаемый слой откусываем от этой сферы.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #865988 писал(а):

Основной вопрос дискуссии: чему же равна плотность энергии гравитационного поля в ОТО?

Нашли о чём спорить.

Ничего, если я напомню, что плотности энергии гравитационного поля в ОТО нет? Есть не тензор энергии-импульса, а псевдотензор, и он определяется с известным произволом (и даже может быть сделан равным нулю в точке).

epros в сообщении #866023 писал(а):

Псевдотензоры обладают калибровочной инвариантностью, поэтому с ними не всё так просто.

Раз уж даже калибровочно-инвариантно можно получить только псевдотензор, то тем более, калибровочно неинвариантно можно получить только ещё более бессмысленные величины, и несовпадение таких величин, полученных разными способами, вообще ни о чём не говорит.

epros в сообщении #866023 писал(а):

А система координат здесь одна: Шварцшильдовская статическая.

Ну и подставьте её в ЛЛ-2 (96.9). Вам обоим, с SergeyGubanov, будет полезное упражнение на вычисления (чур не халявить через всякую Mathematic-у). А спорить-то о чём?

[schekn]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #866051 писал(а):

чур не халявить через всякую Mathematic-у

Ну Вы садист.

[epros]

Munin, Ваше мнение относительно «бессмысленности» псевдотензора мне известно. Тем не менее, на уничтожение гравитационного поля посредством поднимания камней потребуется потратить вполне конкретную энергию, коя может быть измерена в киловатт-часах и оценена в рублях по действующим тарифам.

[Munin]

schekn
Для вас это до сих пор трудно? Это вы неженка, а не я садист. С вашим нежеланием марать ручки в чернилах и в мелу, вы никогда ничего не достигнете, даже на студенческом уровне.

Адью.

-- 21.05.2014 16:53:21 --

epros в сообщении #866069 писал(а):

Munin, Ваше мнение относительно «бессмысленности» псевдотензора мне известно.

Простите, процитируйте мне, что именно там вам о моём мнении «известно».

Потому что я никогда не говорил, что ПТЭИ гравитационного поля бессмысленен.

(Ну, может быть, в молодости, в запале...)

epros в сообщении #866069 писал(а):

Тем не менее, на уничтожение гравитационного поля посредством поднимания камней потребуется потратить вполне конкретную энергию, коя может быть измерена в киловатт-часах и оценена в рублях по действующим тарифам.

Дык.

Забавно, правда, слышать, как это называется "уничтожением"... :-)

[epros]

Munin в сообщении #866072 писал(а):

Простите, процитируйте мне, что именно там вам о моём мнении «известно».

Потому что я никогда не говорил, что ПТЭИ гравитационного поля бессмысленен.

(Ну, может быть, в молодости, в запале...)

Гы, так вот же:

Munin в сообщении #866051 писал(а):

Раз уж даже калибровочно-инвариантно можно получить только псевдотензор, то тем более, калибровочно неинвариантно можно получить только ещё более бессмысленные величины

Раз уж про псевдотензор сказано, что можно получить «ещё более бессмысленные» величины, то, как я понимаю, его собственная бессмысленность тоже подразумевалась?

[Munin]

epros в сообщении #866101 писал(а):

как я понимаю

Как всегда, вы не понимаете.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #866002 писал(а):

А в чём трудности? Трудно посчитать силу, необходимую для поднятия сферического слоя массой $\Delta m$? Или трудно посчитать перемещение? Или трудно понять, каким образом изменится гравитационное поле в приповерхностном слое (в единственном месте, где оно изменится)?

Я могу сразу Вам сказать, что плотность гравитационной энергии выразится как $g^2$ с неким отрицательным коэффициентом, где $g$ — ускорение свободного падения (не путать со второй производной радиальной координаты по временной координате). Если сложно сразу получить конкретную формулу, то постарайтесь хотя бы качественно понять почему эта величина — существенно отрицательна.

Вычислить ускорение лежащего на планете камня не трудно...

$$ ds^2 = \left( 1 - \frac{r_g}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{1}{1 - \frac{r_g}{r}} dr^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \eqno(1) $$

$$ u^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}, 0, 0, 0 \right\} \eqno(2) $$

$$ w^{\mu} = \frac{d u^{\mu}}{d s} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta} = \left\{ 0, \frac{r_g}{2 r^2}, 0, 0 \right\} \eqno(3) $$

$$ w^2 = - g_{\mu \nu} w^{\mu} w^{\nu} = \frac{r_g}{4 r^3 \left( \frac{r}{r_g} - 1 \right)} \eqno(4) $$

$$ \hat w = g_{\mu \nu} w^{\mu} dx^{\nu} = - \frac{dr}{2 r \left( \frac{r}{r_g} - 1 \right)} \eqno(5) $$

$$ \int g_{\mu \nu} w^{\mu} dx^{\nu} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1}{1 - \frac{r_g}{r}} \right) \eqno(6) $$

Трудность в том, что непонятно какое отношение полученное ускорение $w$ будет иметь к плотности энергии гравитационного поля. Ведь $w$ может быть отличной от нуля в пространстве Минковского в неинерциальной системе отсчёта...

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #866132 писал(а):

Трудность в том, что непонятно какое отношение полученное ускорение $w$ будет иметь к плотности энергии гравитационного поля. Ведь $w$ может быть отличной от нуля в пространстве Минковского в неинерциальной системе отсчёта...

Система отсчёта у нас задана: статическая для решения Шварцшильда. Считаете ускорение свободного падения. Умножаете на массу поднимаемых камней: получаете силу, которую надо приложить для поднятия камней. Умножаете на перемещение: получаете энергию, которую придётся затратить на это дело. Смотрите, как в результате изменилось гравитационное поле в приповерхностном слое.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #866187 писал(а):

Система отсчёта у нас задана: статическая для решения Шварцшильда. Считаете ускорение свободного падения. Умножаете на массу поднимаемых камней: получаете силу, которую надо приложить для поднятия камней. Умножаете на перемещение: получаете энергию, которую придётся затратить на это дело. Смотрите, как в результате изменилось гравитационное поле в приповерхностном слое.

Так я это сделал (кроме последнего шага). Есть планета массы $M$ ($r_g = 2 k M / c^2$), на ней сферически симметрично разложены камни общей массы $m$. Домкратами очень медленно поднимаем камни на высоту $dr$, домкраты совершает работу $dA$:

$$ dA = m c^2 g_{\mu \nu} w^{\mu} {\frac{dx}{dr}}^{\nu} dr = - \frac{m c^2}{2 r \left( \frac{r}{r_g} - 1 \right)} dr \approx - \frac{k M m}{r^2 } dr \eqno(1) $$

А вот дальше я не понимаю. Как теперь используя полученную формулу (1) узнать чему равна плотность энергии гравитационного поля?