Ряд Тейлора в векторно-матричной форме

[prof.uskov]

Munin в сообщении #860994 писал(а):

Слушайте внимательно, и не говорите, что не слышали. Арсенал операций для тензоров шире, чем для матриц. В тензорном исчислении базовыми (то есть, не сводящимися к другим) являются нижеследующие операции:

I. Линейные операции: сложение между собой тензоров одинаковых рангов, и умножение на скаляр.

II. Тензорное произведение: из двух тензоров ранга $m$ и $n$ получается тензор ранга $m+n.$

III. Свёртка (можно добавить "по произвольному индексу"). Из тензора ранга $n$ получается тензор ранга $n-2,$ в частном случае вектор или скаляр. Свёртку тензора ранга $n$ можно сделать $n(n-1)/2$ разными способами, это будут разные свёртки.

IV. Произвольная перестановка индексов (валентностей, аргументов) тензора. При изложении тензоров в индексной нотации, эта операция сводится к переименованию индексов, и автор может её отдельно не выделять, но на самом деле она необходима.

(V. В случае, когда различаются верхние и нижние индексы тензоров, может быть в наличии отдельная операция поднятия и опускания индекса, - но может и не быть в наличии. В случае, когда верхние и нижние индексы не различаются, считается, что эта операция есть, биективна, и все индексы по умолчанию пишутся снизу, а при необходимости для свёрток - поднимаются те, которые нужно.)

Вопрос возник. А если я хочу повернуть один ряд трехмерного массива, как в кубике Рубика, то это п. IV подразумевает?

[arseniiv]

Один ряд не получится. Это превратит тензор в что-то, зависящее от базиса, или в обратную сторону.

А зачем это нужно?

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #865352 писал(а):

Один ряд не получится. Это превратит тензор в что-то, зависящее от базиса, или в обратную сторону.
А зачем это нужно?

Но если мы сделаем такую операцию... Как назвать массив чисел, тензором говорите нельзя? Значит многомерная матрица, там крутить можно как угодно?

[arseniiv]

prof.uskov в сообщении #865354 писал(а):

Как назвать массив чисел, тензором говорите нельзя?

Массив чисел никогда нельзя назвать тензором. И не говорите, что это была вольность речи: в данном контексте отличия компонент тензора от самого тензора — часть вопроса.

prof.uskov в сообщении #865354 писал(а):

Значит многомерная матрица

Есть уже нормальное слово компоненты, или фраза набор компонент. Все поймут, что это.

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #865364 писал(а):

prof.uskov в сообщении #865354 писал(а):

Как назвать массив чисел, тензором говорите нельзя?

Массив чисел никогда нельзя назвать тензором. И не говорите, что это была вольность речи: в данном контексте отличия компонент тензора от самого тензора — часть вопроса.

Но прямоугольный массив чисел всегда можно назвать матрицей (многомерной матрицей)?

[arseniiv]

prof.uskov в сообщении #865370 писал(а):

Но прямоугольный массив чисел всегда можно назвать матрицей (многомерной матрицей)?

И даже линейный массив. И даже одно число.
Компоненты понятнее и не содержат ненужных упоминаний строк и столбцов.

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #865374 писал(а):

prof.uskov в сообщении #865370 писал(а):

Но прямоугольный массив чисел всегда можно назвать матрицей (многомерной матрицей)?

И даже линейный массив. И даже одно число.
Компоненты понятнее и не содержат ненужных упоминаний строк и столбцов.

Но компоненты чего? Массива, матрицы? Я имею ввиду, что термин "компоненты" может быть применен лишь к чему-то целому, состоящему из компонент.

[arseniiv]

prof.uskov в сообщении #865380 писал(а):

Но компоненты чего?

Зачем им быть чего? Они сами по себе что — кортеж какой-нибудь.

Если одинокие компоненты не устраивают, можно ещё сказать набор величин.

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #865383 писал(а):

prof.uskov в сообщении #865380 писал(а):

Но компоненты чего?

Зачем им быть чего? Они сами по себе что — кортеж какой-нибудь.

Если одинокие компоненты не устраивают, можно ещё сказать набор величин.

А чем плохо сказать: имеется многомерный массив (матрица), компоненты которого... ?

[arseniiv]

Лишняя структура (строки, столбцы, уже упоминал) и специфическая область употребления. Вместо этого можно написать: «Пусть $A_{ijklm} = \ldots$» — и всё! Только описать, какие индексы как меняются, но обычно это можно описать вначале, т. к. они, как правило, разбиваются на небольшое число групп, в каждой из которых бегают по одинаковому множеству. Часто это вообще одна группа.

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #865387 писал(а):

Лишняя структура (строки, столбцы, уже упоминал) и специфическая область употребления. Вместо этого можно написать: «Пусть $A_{ijklm} = \ldots$» — и всё! Только описать, какие индексы как меняются, но обычно это можно описать вначале, т. к. они, как правило, разбиваются на небольшое число групп, в каждой из которых бегают по одинаковому множеству. Часто это вообще одна группа.

Не-не, когда говорят: имеется прямоугольный массив или таблица, или матрица, то сразу понятно в каком диапазоне меняются индексы и как они расположены в пространстве. Когда мы задаем компонентами, то это нужно описывать отдельно.

[Munin]

prof.uskov в сообщении #865354 писал(а):

Но если мы сделаем такую операцию...

Операции не делают просто так, от большого желания.

На самом деле, и операции "кубика Рубика" имеют в математике своё воплощение - они называются группами и представлениями групп. Но это слишком сложные для вас концепции, тензоры попроще.

-- 20.05.2014 13:00:19 --

prof.uskov в сообщении #865370 писал(а):

Но прямоугольный массив чисел всегда можно назвать матрицей (многомерной матрицей)?

Прямоугольный массив чисел всегда можно назвать прямоугольным массивом чисел. Хоть многомерным.

А вот слово "матрица" - уже имеет более высокие требования при применении. И словосочетанию "многомерная матрица" просто нельзя нормально придать смысл.

-- 20.05.2014 13:01:02 --

prof.uskov в сообщении #865385 писал(а):

А чем плохо сказать: имеется многомерный массив (матрица), компоненты которого... ?

Тем плохо, что словами нельзя разбрасываться.

[arseniiv]

prof.uskov в сообщении #865388 писал(а):

Когда мы задаем компонентами, то это нужно описывать отдельно.

Пределы изменения можно так же компактно записать как и размер матрицы. Не мудрствуя, можно даже написать «набор $3\times3\times3\times4\times4$ компонент $A_{ijklm}$», а можно вспомнить, что индексы — это просто аргументы функции, и написать «$A\colon 1..3^3\times1..4^2\to\mathbb R$» ($m..n$ — довольно распространённое обозначение множества $\{m\leqslant x\leqslant n : x\in\mathbb Z\}$).

prof.uskov в сообщении #865388 писал(а):

и как они расположены в пространстве

Индексам быть расположенным в пространстве нет никаких резонов (и элементам, которые, видимо, имелись в виду, тоже). Они и без этого могут обойтись спокойно.

[Munin]

arseniiv в сообщении #865480 писал(а):

Индексам быть расположенным в пространстве нет никаких резонов

Скорее всего, prof.uskov жёстко путает пространство значений индексов, пространство значений компонент, и (возможно) пространство значений всего объекта.

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #865480 писал(а):

prof.uskov в сообщении #865388 писал(а):

и как они расположены в пространстве

Индексам быть расположенным в пространстве нет никаких резонов (и элементам, которые, видимо, имелись в виду, тоже). Они и без этого могут обойтись спокойно.

Конечно, я имел в виду элементы. Не совсем правильно построил предложение... но можно было догадаться. Как расположены компоненты массива на плоскости (или в пространстве) представлять весьма полезно, для понимания решаемой задачи.