Ряд Тейлора в векторно-матричной форме

Munin · 30/01/06 72407

prof.uskov в сообщении #860903 писал(а):

Но стандартные матричные операции (в матричном анализе) не предполагают использования индексной нотации.

Именно поэтому они становятся непригодны, когда возникает нужда в " $n$ -мерном" обобщении матриц (в тензорах ранга, или валентности, $n$ ; понятие "ранга" для тензора совсем другое, чем для матрицы).

prof.uskov в сообщении #860903 писал(а):

Аналогично по индукции можно ввести операцию умножение для произвольных n-матриц.

Слушайте внимательно, и не говорите, что не слышали. Арсенал операций для тензоров шире, чем для матриц. В тензорном исчислении базовыми (то есть, не сводящимися к другим) являются нижеследующие операции:

I. Линейные операции: сложение между собой тензоров одинаковых рангов, и умножение на скаляр.

II. Тензорное произведение: из двух тензоров ранга $m$ и $n$ получается тензор ранга $m+n.$

III. Свёртка (можно добавить "по произвольному индексу"). Из тензора ранга $n$ получается тензор ранга $n-2,$ в частном случае вектор или скаляр. Свёртку тензора ранга $n$ можно сделать $n(n-1)/2$ разными способами, это будут разные свёртки.

IV. Произвольная перестановка индексов (валентностей, аргументов) тензора. При изложении тензоров в индексной нотации, эта операция сводится к переименованию индексов, и автор может её отдельно не выделять, но на самом деле она необходима.

(V. В случае, когда различаются верхние и нижние индексы тензоров, может быть в наличии отдельная операция поднятия и опускания индекса, - но может и не быть в наличии. В случае, когда верхние и нижние индексы не различаются, считается, что эта операция есть, биективна, и все индексы по умолчанию пишутся снизу, а при необходимости для свёрток - поднимаются те, которые нужно.)

Действия с матрицами реализуются как сочетания операций с тензорами: линейные операции как линейные операции, а умножение матриц - как сочетание тензорного произведения и свёртки. При этом, векторы рассматриваются не как матрицы размера $1\times n$ или $n\times 1,$ а как тензоры ранга $1$ - в то время как квадратные матрицы $n\times n$ - как тензоры ранга $2.$ То есть, получается, что необходимо раздельно рассмотреть пять случаев матричного умножения:
- матрицы $1\times n$ на $n\times n$ - умножение вектора на матрицу справа - $b^{\mathrm{T}}A\to b_i A_{ij}$ ;
- матрицы $n\times n$ на $n\times 1$ - умножение вектора на матрицу слева - $Ab\to A_{ij}b_j$ ;
- матрицы $n\times n$ на $n\times n$ - умножение матриц - $AB\to A_{ij}B_{jk}$ ;
- матрицы $1\times n$ на $n\times 1$ - скалярное умножение вектора на вектор - результат скаляр - $b^{\mathrm{T}}a\to b_i a_i$ ;
- матрицы $n\times 1$ на $1\times n$ - тензорное умножение вектора на вектор - результат матрица (тензор 2 ранга) - $ab^{\mathrm{T}}\to a_i b_j$ .
При этом, в последнем случае не происходит никакой свёртки. (Умножение на матрицы $1\times 1$ - это то же самое, что умножение на скаляр.) Транспонирование матрицы - реализуется как перестановка индексов тензора.

Вы пытаетесь "дофантазировать" операции с "многомерными матрицами" на основании известных вам обычных операций с матрицами, но получается существенно более бедная возможностями конструкция. Вы предлагаете "произведение $n$ -матрицы на $n-1$ -матрицу", в то время как тензоры позволяют взять произведение тензоров ранга $m$ и $n,$ и свернуть его $k$ раз, и получить тензор ранга $m+n-2k$ (до тех пор, пока это число не отрицательно), причём ещё и комбинаторно большим числом способов.

Всё-таки, ваше фантазирование не заменит вам чтения учебников. Вы слабы изобрести хороший велосипед - познакомьтесь-ка с тем, что изобрели другие.

prof.uskov · 12/01/14 1127

Otta в сообщении #860982 писал(а):

А техническому вузу и матриц многомерных не нужно.

Смотря чем заниматься, вот один мой знакомый построил свою собственную модель баз данных, отличную от реляционной на основе многомерных матриц по книжке Соколова и вполне горд собой. :-)

Я когда учился и обычные матрицы изучались на уровне решения систем линейных уравнений. Даже жорданова форма не рассматривалась. Так что сам беру книжки и читаю.

Munin · 30/01/06 72407

Otta в сообщении #860913 писал(а):

Индексной записи не может быть без выбора базиса.

Это, на самом деле, не совсем так: есть "метод абстрактных индексов", который позволяет индексную запись без выбора базиса. По сути, он основан на замечании факта, что все индексные формулы, кроме окончательных вычислений, при смене базиса не меняются.

prof.uskov в сообщении #860979 писал(а):

Ну если Вы не хотите, чтобы Вас понимали только представители одной с Вами научной школы, а кто-то еще, в частности инженеры...

Вы напрасно думаете, что тензоры - это достояние какой-то "одной научной школы". Как раз наоборот, тензоры известны всему миру, а только некоторые отдельные инженеры (увы :-( ), не зная про тензоры, изобретают свои собственные велосипеды, причём каждый раз по-разному.

prof.uskov в сообщении #860993 писал(а):

Но это мне еще нужно догадаться, что это линейный оператор, а не умножение

Применение линейного оператора - это и есть умножение.

prof.uskov в сообщении #860993 писал(а):

Мне интересно. Я пытаюсь понять, но используемый Вами язык очень уж отличен от моего. Точнее даже не так, я просто не владею тем абстрактным языком, который используют профессиональные математики.

Напишите для себя "словарик" с одного языка на другой, повесьте перед носом, и постоянно сверяйтесь. Постепенно запомните и привыкнете.

На самом деле, этот язык гораздо шире известен, чем среди профессиональных математиков. Как раз наоборот, только некоторым отдельным нелюбопытным инженерам он неизвестен.

prof.uskov · 12/01/14 1127

Munin в сообщении #860994 писал(а):

Слушайте внимательно, и не говорите, что не слышали. Арсенал операций для тензоров шире, чем для матриц...
...
Вы пытаетесь "дофантазировать" операции с "многомерными матрицами" на основании известных вам обычных операций с матрицами, но получается существенно более бедная возможностями конструкция. Вы предлагаете "произведение $n$ -матрицы на $n-1$ -матрицу", в то время как тензоры позволяют взять произведение тензоров ранга $m$ и $n,$ и свернуть его $k$ раз, и получить тензор ранга $m+n-2k$ (до тех пор, пока это число не отрицательно), причём ещё и комбинаторно большим числом способов.

Всё-таки, ваше фантазирование не заменит вам чтения учебников. Вы слабы изобрести хороший велосипед - познакомьтесь-ка с тем, что изобрели другие.

Munin, спасибо за столь подробное разъяснение. Я ничего не фантазирую, я почитал книжки Соколова, вы сказали - плохие книжки. Я почитал Крона (правда пока осилил только первые 20%). В принципе, ответ на вопрос, стоящий в начале темы я нашел. Тех операций, которые определены у Соколова и Крона вполне достаточно, что бы расписать ряд Тейлора в матрично-векторном виде (как без использования индексов, так и с ними), тензоры здесь ничего нового дать не могут. Нужны ли в данной задаче более богатые операции?

Otta · 09/05/13 8904 ∞⠀⠀⠀⠀

prof.uskov в сообщении #861014 писал(а):

Нужны ли в данной задаче более богатые операции?

В этой задаче нужно сложение, умножение, дифференцирование.
Зачем Вам матрицы, если Вы всего лишь хотите записать кратко, как я поняла, и иных целей не преследуете?

prof.uskov · 12/01/14 1127

Otta в сообщении #861019 писал(а):

prof.uskov в сообщении #861014 писал(а):

Нужны ли в данной задаче более богатые операции?

В этой задаче нужно сложение, умножение, дифференцирование.
Зачем Вам матрицы, если Вы всего лишь хотите записать кратко, как я поняла, и иных целей не преследуете?

А как без матриц, если в ряд разлагается функция нескольких переменных? Если посмотреть справочники для инженеров, то там просто расписывается в виде сумм скалярных слагаемых.

Otta · 09/05/13 8904 ∞⠀⠀⠀⠀

Ну и что может быть лучше для чисто вычислительной работы?

prof.uskov · 12/01/14 1127

Otta в сообщении #861027 писал(а):

Ну и что может быть лучше для чисто вычислительной работы?

Вот смотрите, даже для функции 3-х переменных и только до квадратичных слагаемых
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%FF%E4_ ... 1.8B.D1.85
А так берем MATLAB, определяем недостающие матричные операции (для многомерных матриц) и вперед.
Речь идет о длине программного кода и универсальности подпрограммы.

Otta · 09/05/13 8904 ∞⠀⠀⠀⠀

Не смею мешать. :)
Вы же должны понимать, что как бы Вы не записывали (положим), ресурсы программа будет жрать одни и те же (если не накосячите), поскольку разные записи подразумевают одни и те же операции.

Munin · 30/01/06 72407

prof.uskov в сообщении #861014 писал(а):

Тех операций, которые определены у Соколова и Крона вполне достаточно, что бы расписать ряд Тейлора в матрично-векторном виде

Да, вот непонятно, что вы вообще хотите, кроме как "расписать ряд Тейлора"?

Если захотите работать с тем, что получилось, - вам понадобятся все тензорные операции, весь арсенал.

А если вы хотите просто расписать, самодовольно надуться, и сидеть на этой записи, то конечно, можете обойтись без "излишеств".

prof.uskov · 12/01/14 1127

Otta в сообщении #861033 писал(а):

Не смею мешать. :)
Вы же должны понимать, что как бы Вы не записывали (положим), ресурсы программа будет жрать одни и те же (если не накосячите), поскольку разные записи подразумевают одни и те же операции.

Я понимаю, ибо приходилось разрабатывать алгоритмы для бортового компьютера кое-чего летающего. Если критерий - вычислительные затраты, то MATLAB вообще лучше не использовать, как и прочие общедоступные языки высокого уровня. :-)

Еще раз, матрицы - это способ записи формул, как сделать из больших маленькие, чтобы они были обозримы и доступны для понимания и анализа, чтобы их просто можно было загнать в компьютер (с минимальными затратами сил и времени и вероятностью ошибок) и что-то посчитать.

-- 09.05.2014, 22:38 --

Munin в сообщении #861050 писал(а):

prof.uskov в сообщении #861014 писал(а):

Тех операций, которые определены у Соколова и Крона вполне достаточно, что бы расписать ряд Тейлора в матрично-векторном виде

Да, вот непонятно, что вы вообще хотите, кроме как "расписать ряд Тейлора"?
Если захотите работать с тем, что получилось, - вам понадобятся все тензорные операции, весь арсенал.
А если вы хотите просто расписать, самодовольно надуться, и сидеть на этой записи, то конечно, можете обойтись без "излишеств".

Собственно, задача эффективно представить кусок рядя Тейлора у меня возникала лет 15 назад, тогда как-то выкрутился без матриц, но неприятный осадок, что что-то не понимаю остался. Тут почему-то вспомнил, решил закрыть этот вопрос. Получил много полезных подсказок... За что премного благодарен. Так что кроме как "расписать ряд Тейлора" других задач сейчас не стояло. Самодовольно надулся и сижу. :-)