Ложная бесконечность в математике

[Апис]

Мне уже приходилось говорить, что бесконечности не существует. Человечество, не сумев вообразить ничто или ничего, плюс желание быть вечным, придумало бесконечность.
В математике бесконечность фигурирует как какой-то конечный результат, который кстати противоречит бесконечности. И вот к чему это приводит:
Теорема Эйлера: При неограниченом возрастании действительного числа n>1 предел отношения

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} = 0 \]

Отношение

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} \]

можно расматривать как (среднюю плотность) простых чисел на интервале (1,n). Таким образом, теорема Эйлера утверждает, что при неограниченом возрастании (n) (средняя плотность) простых чисел стремится к нулю.
Из моей же работы следует, плотность распределения простых чисел

\[ \frac{1} {{m_p }} \]

на интервале (p,n) при неограниченом возрастании (n) неограничено падает. Но она никогда не будет равной нулю. При равенстве нулю, это же означает, что дальше в числовом ряду нет простых чисел. Что невозможно. Тогда бы определение плотности просто бы остановилось.
Парадокс в том, что предел отношения Эйлера

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} = 0 \]

недостижим, невозможен. Как бы неограниченно не возрастало действительное число (n). И это доказывается тем, что

\[ \frac{1} {{m_p }} \ne 0 \]

так как простых чисел бесконечное множество. При неогрниченом возрастании (n) неограничено возрастает (появляются всё новые) (p).
В математике пользоваться понятием бесконечность, как каким-то гипотетическим конечным результатом - нельзя. В математике должна допускаться бесконечность, как неограниченное возрастание и только в том случае если неограниченное возрастание можно остановить, и формула останется дееспособной для любого промежуточного значения и для бесконечности.
Асимптотические оценки для функции

\[ \pi (n) \]

и бесконечность
Две положительные функции q(n) и h(n) определённые для действительных положительных значений (n) называют асимптотичкски равными если:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{q(n)}} {{h(n)}} = 1 \]

\[ q\left( n \right) \sim h(n) \]

Естественно достаточно простой аналитической функции f(n) асимптотически равной

\[ \pi (n) \]

и тогда это условие равносильно следующему

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\pi (n)}} {{f(n)}} = 1 \]

т.е.

\[ f(n) \sim \pi (n) \]

Чебышев впервые указал на связь функции

\[ \pi (n) \]

с транцендентными функциями

\[\frac{{\text{n}}}{{{\text{ln(n)}}}}\]

и

\[ \int\limits_2^n {\frac{{{\text{du}}}} {{{\text{ln(u)}}}}} \]

(интегральным логарифмом). Эта связь как раз и заключается в том, что при больших значениях (n) функции

\[\frac{{\text{n}}}{{{\text{ln(n)}}}}\]

и

\[ \int\limits_2^n {\frac{{{\text{du}}}} {{{\text{ln(u)}}}}} \]

выражают значение функции

\[ \pi (n) \]

со стремящейся к нулю относительной погрешностью т.е. что:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\pi (n):\frac{n} {{\ln (n)}}} \right] = 1 \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\pi (n):\int\limits_2^n {\frac{{du}} {{\ln u}}} } \right] = 1 \]

заменим

\[ \begin{gathered} \pi (n) = n \cdot m_p \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n:\frac{1} {{m_p }}:\frac{n} {{\ln (n)]}}} \right] = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {m_p \cdot \ln (n)} \right] = 1 \hfill \\ \end{gathered} \]

Предположим (n) достигла бесконечности тогда

\[ \begin{gathered} \frac{1} {{m_p }} = \ln (n) \hfill \\ при(n) \to \infty \hfill \\ \end{gathered} \]

Но имейте в виду

\[ p^2 \leqslant n < p_/^2 \]

правую часть мы отбрасываем так как (n) достигла бесконечности. Так что осталось подсчитать, что я вам и предлагаю,

\[ \begin{gathered} \frac{1} {{m_p }} = \ln (n) \hfill \\ при(n) \to \infty \hfill \\ \end{gathered} \]

Куда кривая графика вывезет. И мы тогда сравним у кого что получится на этом пока сделаю остановку и подожду ваших результатов, так как боюсь, что у меня может получится желаемый результат, а это самое страшное в математике.
Замечание по существу вопроса.
Асимптотический закон подтверждён таблицами простых чисел до некоторого числа

\[ 10^8 \]

и доказан для пресловутой бесконечности.
А как же промежуток между

\[ 10^8 \]

и

\[ \infty \]

в котором асимптотический закон не подтверждён и не иследован.
В моей же работе такой проблемы не существует.

[Brukvalub]

Апис писал(а):

В моей же работе такой проблемы не существует.

Это Вы свою работу так рекламируете, или хотели продемонстрировать своё непонимание понятия предела?

Апис писал(а):

Предположим (n) достигла бесконечности тогда

\[ \begin{gathered} \frac{1} {{m_p }} = \ln (n) \hfill \\ при(n) \to \infty \hfill \\ \end{gathered} \]

За такие "перлы" в первом семестре курса математического анализа с зачёта выгоняют с позором!

[PAV]

Присоединяюсь к Brukvalub'у. Вы бы освежили в памяти понятие предела, а также изучили бы область "Асимптотический анализ". (например здесь)

Вам известны последовательности, которые стремятся к нулю, оставаясь при этом всегда положительными?

Апис писал(а):

В математике бесконечность фигурирует как какой-то конечный результат, который кстати противоречит бесконечности.

Это неверно. Зачем говорить о том, чего Вы не знаете?

[Апис]

Моя ошибка только в одном, я стараюсь объяснить, и вы цепляетесь за слова, не обращая внимание на суть. Упростим сообщение.
Теорема Элера утверждает, что при неограниченом возрастании возрастании (n) средняя плотность простых чисел стремится к нулю

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} = 0 \]

Плотность простых чисел на интервале (p,n) при неограниченном возрастании (n) не равна нулю

\[ \frac{1} {{m_p }} \ne 0 \]

[Brukvalub]

PAV писал(а):

Вам известны последовательности, которые стремятся к нулю, оставаясь при этом всегда положительными?

Судя по последнему ответу - известны. Только отсутствие правильного понимания понятия предела мешает осознать, что нулевой предел у последовательности положительных чисел не ведёт к противоречию.

[Апис]

При больших значениях (n)

\[ \pi (n) = nm_p \]

По неподтверждённому заявлению погрешность 12%. Кого это смущает может добавить коэфициент 0,88
При больших значениях (n)

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\pi (n):\frac{n} {{\ln (n)}}} \right] = 1 \]

отсюда

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n \cdot m_p :\frac{n} {{\ln (n)}}} \right] = 1 \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {m_p \cdot \ln (n)} \right] = 1 \]

Так как у меня отсутствует правильное понимание предела, есть предложение, кто хочет проверьте последнее равенство для нескольких промежуточных значений (n) и посмотрите, что получится

Добавлено спустя 5 минут 28 секунд:

Цитата:

что нулевой предел у последовательности положительных чисел не ведёт к противоречию.

К противоречию какому?

[PAV]

То, что плотность простых чисел положительна (не равна нулю) не противоречит тому, что предел ее равен нулю.

[Brukvalub]

Апис писал(а):

Так как у меня отсутствует правильное понимание предела, есть предложение, кто хочет проверьте последнее равенство для нескольких промежуточных значений (n) и посмотрите, что получится

Это предложение еще раз подтверждает, что

Апис писал(а):

у меня отсутствует правильное понимание предела

[PAV]

Апис писал(а):

Теорема Эйлера: При неограниченом возрастании действительного числа n>1 предел отношения

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} = 0 \]

Отношение

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} \]

можно расматривать как (среднюю плотность) простых чисел на интервале (1,n). Таким образом, теорема Эйлера утверждает, что при неограниченом возрастании (n) (средняя плотность) простых чисел стремится к нулю.
Из моей же работы следует, плотность распределения простых чисел

\[ \frac{1} {{m_p }} \]

на интервале (p,n) при неограниченом возрастании (n) неограничено падает. Но она никогда не будет равной нулю.

А теорема Эйлера и не утверждает, что эта плотность когда-нибудь будет равна нулю. Вы вроде как заявляете о каком-то противоречии, но я никакого логического противоречия в классических результатах не вижу.

[Апис]

Меня убивают слова не уследишь за ними. Ещё раз повторю. Теорема Эйлера: При неограниченом возрастании действительного числа n>1 предел отношения

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} = 0 \]

Отношение

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} \]

можно рассматривать как среднюю плотность на интервале (1,n).
Так какова же средняя плотность при неограниченном ворастании действительного числа n>1. Разве она не равна нулю?

[PAV]

Апис писал(а):

Так какова же средняя плотность при неограниченном ворастании действительного числа n>1. Разве она не равна нулю?

Нет такого понятия "средняя плотность при неограниченном возрастании". Вы сначала дайте определение, а потом решим, равно ли это нулю или не равно.

Если Вы под этим хотите понимать предел плотности - тогда да, предел равен нулю. И чему это противоречит?

[Brukvalub]

Апис писал(а):

Так какова же средняя плотность при неограниченном ворастании действительного числа n>1

Бессмысленный вопрос. Эйлер говорил, что с возрастанием n отношение

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} \]

становится все менее отличимым от нуля. Но нет такого значения функции

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} \]

, которое бы называлось: "средняя плотность при неограниченном возрастании действительного числа n>1". Неопознанный нелетающий объект "при неограниченном возрастании действительного числа n>1" живет только в Вашем воображении, и не содержится в области определения функции

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} \]

[PAV]

Собственно, почему математики так щепетильно относятся к точным формулировкам и определениям. Как только в рассуждениях начинают фигурировать термины, точный смысл которых не определен, то чаще всего начинаются проблемы. А любители чаще всего так и поступают, типа "и так все понятно".

[Апис]

\[ \begin{gathered} \pi (n) = n \cdot m_p \hfill \\ \frac{1} {{m_p }} = \frac{n} {{\pi (n)}} &# \hfill \\ \frac{{\pi (n)}} {n} = 0 \hfill \\ \frac{{n \cdot m_p }} {n} \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ y(p) = \frac{{p - 1}} {p} \cdot \ln (p^2 ) \]

[Brukvalub]

Апис писал(а):

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} = 0

Вот здесь ошибка. Такого значения при

\[n \ge 2\]

нет.