2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Ложная бесконечность в математике
Сообщение16.11.2007, 14:37 
Мне уже приходилось говорить, что бесконечности не существует. Человечество, не сумев вообразить ничто или ничего, плюс желание быть вечным, придумало бесконечность.
В математике бесконечность фигурирует как какой-то конечный результат, который кстати противоречит бесконечности. И вот к чему это приводит:
Теорема Эйлера: При неограниченом возрастании действительного числа n>1 предел отношения \[
\frac{{\pi (n)}}
{n} = 0
\]
Отношение \[
\frac{{\pi (n)}}
{n}
\] можно расматривать как (среднюю плотность) простых чисел на интервале (1,n). Таким образом, теорема Эйлера утверждает, что при неограниченом возрастании (n) (средняя плотность) простых чисел стремится к нулю.
Из моей же работы следует, плотность распределения простых чисел \[
\frac{1}
{{m_p }}
\]на интервале (p,n) при неограниченом возрастании (n) неограничено падает. Но она никогда не будет равной нулю. При равенстве нулю, это же означает, что дальше в числовом ряду нет простых чисел. Что невозможно. Тогда бы определение плотности просто бы остановилось.
Парадокс в том, что предел отношения Эйлера \[
\frac{{\pi (n)}}
{n} = 0
\]недостижим, невозможен. Как бы неограниченно не возрастало действительное число (n). И это доказывается тем, что \[
\frac{1}
{{m_p }} \ne 0
\] так как простых чисел бесконечное множество. При неогрниченом возрастании (n) неограничено возрастает (появляются всё новые) (p).
В математике пользоваться понятием бесконечность, как каким-то гипотетическим конечным результатом - нельзя. В математике должна допускаться бесконечность, как неограниченное возрастание и только в том случае если неограниченное возрастание можно остановить, и формула останется дееспособной для любого промежуточного значения и для бесконечности.
Асимптотические оценки для функции \[
\pi (n)
\] и бесконечность
Две положительные функции q(n) и h(n) определённые для действительных положительных значений (n) называют асимптотичкски равными если:
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{q(n)}}
{{h(n)}} = 1
\] \[
q\left( n \right) \sim h(n)
\]
Естественно достаточно простой аналитической функции f(n) асимптотически равной \[
\pi (n)
\] и тогда это условие равносильно следующему
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\pi (n)}}
{{f(n)}} = 1
\] т.е. \[
f(n) \sim \pi (n)
\]
Чебышев впервые указал на связь функции \[
\pi (n)
\] с транцендентными функциями \[\frac{{\text{n}}}{{{\text{ln(n)}}}}\] и \[
\int\limits_2^n {\frac{{{\text{du}}}}
{{{\text{ln(u)}}}}} 
\] (интегральным логарифмом). Эта связь как раз и заключается в том, что при больших значениях (n) функции \[\frac{{\text{n}}}{{{\text{ln(n)}}}}\] и \[
\int\limits_2^n {\frac{{{\text{du}}}}
{{{\text{ln(u)}}}}} 
\] выражают значение функции \[
\pi (n)
\] со стремящейся к нулю относительной погрешностью т.е. что:
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\pi (n):\frac{n}
{{\ln (n)}}} \right] = 1
\] \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\pi (n):\int\limits_2^n {\frac{{du}}
{{\ln u}}} } \right] = 1
\]
заменим
\[
\begin{gathered}
  \pi (n) = n \cdot m_p  \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n:\frac{1}
{{m_p }}:\frac{n}
{{\ln (n)]}}} \right] = 1 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {m_p  \cdot \ln (n)} \right] = 1 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Предположим (n) достигла бесконечности тогда \[
\begin{gathered}
  \frac{1}
{{m_p }} = \ln (n) \hfill \\
  при(n) \to \infty  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Но имейте в виду\[
p^2  \leqslant n < p_/^2 
\]правую часть мы отбрасываем так как (n) достигла бесконечности. Так что осталось подсчитать, что я вам и предлагаю, \[
\begin{gathered}
  \frac{1}
{{m_p }} = \ln (n) \hfill \\
  при(n) \to \infty  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\] Куда кривая графика вывезет. И мы тогда сравним у кого что получится на этом пока сделаю остановку и подожду ваших результатов, так как боюсь, что у меня может получится желаемый результат, а это самое страшное в математике.
Замечание по существу вопроса.
Асимптотический закон подтверждён таблицами простых чисел до некоторого числа \[
10^8 
\] и доказан для пресловутой бесконечности.
А как же промежуток между \[
10^8 
\] и \[
\infty 
\] в котором асимптотический закон не подтверждён и не иследован.
В моей же работе такой проблемы не существует.

 
 
 
 
Сообщение16.11.2007, 14:47 
Аватара пользователя
Апис писал(а):
В моей же работе такой проблемы не существует.

Это Вы свою работу так рекламируете, или хотели продемонстрировать своё непонимание понятия предела?
Апис писал(а):
Предположим (n) достигла бесконечности тогда \[ \begin{gathered} \frac{1} {{m_p }} = \ln (n) \hfill \\ при(n) \to \infty \hfill \\ \end{gathered} \]
За такие "перлы" в первом семестре курса математического анализа с зачёта выгоняют с позором! :D

 
 
 
 
Сообщение16.11.2007, 14:53 
Аватара пользователя
Присоединяюсь к Brukvalub'у. Вы бы освежили в памяти понятие предела, а также изучили бы область "Асимптотический анализ". (например здесь)

Вам известны последовательности, которые стремятся к нулю, оставаясь при этом всегда положительными?

Апис писал(а):
В математике бесконечность фигурирует как какой-то конечный результат, который кстати противоречит бесконечности.

Это неверно. Зачем говорить о том, чего Вы не знаете?

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 13:48 
Моя ошибка только в одном, я стараюсь объяснить, и вы цепляетесь за слова, не обращая внимание на суть. Упростим сообщение.
Теорема Элера утверждает, что при неограниченом возрастании возрастании (n) средняя плотность простых чисел стремится к нулю\[
\frac{{\pi (n)}}
{n} = 0
\]
Плотность простых чисел на интервале (p,n) при неограниченном возрастании (n) не равна нулю\[
\frac{1}
{{m_p }} \ne 0
\]

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 14:02 
Аватара пользователя
PAV писал(а):
Вам известны последовательности, которые стремятся к нулю, оставаясь при этом всегда положительными?
Судя по последнему ответу - известны. Только отсутствие правильного понимания понятия предела мешает осознать, что нулевой предел у последовательности положительных чисел не ведёт к противоречию.

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 14:37 
При больших значениях (n) \[
\pi (n) = nm_p 
\] По неподтверждённому заявлению погрешность 12%. Кого это смущает может добавить коэфициент 0,88
При больших значениях (n)
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\pi (n):\frac{n}
{{\ln (n)}}} \right] = 1
\]
отсюда
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n \cdot m_p :\frac{n}
{{\ln (n)}}} \right] = 1
\]
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {m_p  \cdot \ln (n)} \right] = 1
\]
Так как у меня отсутствует правильное понимание предела, есть предложение, кто хочет проверьте последнее равенство для нескольких промежуточных значений (n) и посмотрите, что получится

Добавлено спустя 5 минут 28 секунд:

Цитата:
что нулевой предел у последовательности положительных чисел не ведёт к противоречию.

К противоречию какому?

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 16:00 
Аватара пользователя
То, что плотность простых чисел положительна (не равна нулю) не противоречит тому, что предел ее равен нулю.

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 16:03 
Аватара пользователя
Апис писал(а):
Так как у меня отсутствует правильное понимание предела, есть предложение, кто хочет проверьте последнее равенство для нескольких промежуточных значений (n) и посмотрите, что получится
Это предложение еще раз подтверждает, что
Апис писал(а):
у меня отсутствует правильное понимание предела

 
 
 
 Re: Ложная бесконечность в математике
Сообщение17.11.2007, 16:04 
Аватара пользователя
Апис писал(а):
Теорема Эйлера: При неограниченом возрастании действительного числа n>1 предел отношения \[
\frac{{\pi (n)}}
{n} = 0
\]
Отношение \[
\frac{{\pi (n)}}
{n}
\] можно расматривать как (среднюю плотность) простых чисел на интервале (1,n). Таким образом, теорема Эйлера утверждает, что при неограниченом возрастании (n) (средняя плотность) простых чисел стремится к нулю.
Из моей же работы следует, плотность распределения простых чисел \[
\frac{1}
{{m_p }}
\]на интервале (p,n) при неограниченом возрастании (n) неограничено падает. Но она никогда не будет равной нулю.


А теорема Эйлера и не утверждает, что эта плотность когда-нибудь будет равна нулю. Вы вроде как заявляете о каком-то противоречии, но я никакого логического противоречия в классических результатах не вижу.

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 17:23 
Меня убивают слова не уследишь за ними. Ещё раз повторю. Теорема Эйлера: При неограниченом возрастании действительного числа n>1 предел отношения \[
\frac{{\pi (n)}}
{n} = 0
\]
Отношение\[
\frac{{\pi (n)}}
{n} 
\]можно рассматривать как среднюю плотность на интервале (1,n).
Так какова же средняя плотность при неограниченном ворастании действительного числа n>1. Разве она не равна нулю?

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 17:32 
Аватара пользователя
Апис писал(а):
Так какова же средняя плотность при неограниченном ворастании действительного числа n>1. Разве она не равна нулю?


Нет такого понятия "средняя плотность при неограниченном возрастании". Вы сначала дайте определение, а потом решим, равно ли это нулю или не равно.

Если Вы под этим хотите понимать предел плотности - тогда да, предел равен нулю. И чему это противоречит?

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 17:37 
Аватара пользователя
Апис писал(а):
Так какова же средняя плотность при неограниченном ворастании действительного числа n>1
Бессмысленный вопрос. Эйлер говорил, что с возрастанием n отношение \[ \frac{{\pi (n)}} {n}  \]становится все менее отличимым от нуля. Но нет такого значения функции \[ \frac{{\pi (n)}} {n}  \], которое бы называлось: "средняя плотность при неограниченном возрастании действительного числа n>1". Неопознанный нелетающий объект "при неограниченном возрастании действительного числа n>1" живет только в Вашем воображении, и не содержится в области определения функции \[ \frac{{\pi (n)}} {n}  \] :D

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 17:38 
Аватара пользователя
Собственно, почему математики так щепетильно относятся к точным формулировкам и определениям. Как только в рассуждениях начинают фигурировать термины, точный смысл которых не определен, то чаще всего начинаются проблемы. А любители чаще всего так и поступают, типа "и так все понятно".

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 18:09 
\[
\begin{gathered}
  \pi (n) = n \cdot m_p  \hfill \\
  \frac{1}
{{m_p }} = \frac{n}
{{\pi (n)}} 
&# \hfill \\
  \frac{{\pi (n)}}
{n} = 0 \hfill \\
  \frac{{n \cdot m_p }}
{n} \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
\[
y(p) = \frac{{p - 1}}
{p} \cdot \ln (p^2 )
\]

 
 
 
 
Сообщение17.11.2007, 18:17 
Аватара пользователя
Апис писал(а):
\[  \frac{{\pi (n)}} {n} = 0
Вот здесь ошибка. Такого значения при \[n \ge 2\] нет.

 
 
 [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group