Поворот 4-мерного пространства вокруг плоскости

[svv]

Нулевой вектор не годится в качестве базисного.

Домножьте два вектора на $14$, ортогональности это не нарушит (если она есть, не проверял), а вид улучшится. Один из них потом ещё разделите на $5$.

(Совет)

Уравнения, задающие плоскость, можно переписать в виде:
$1x+0y+0z+0t=0$
$0x+1y+1z+1t=0$
и далее:
$\langle (x,y,z,t), (1,0,0,0) \rangle=0$
$\langle (x,y,z,t), (0,1,1,1) \rangle=0$
(скалярное произведение у Вас так обозначается?)
Эта форма показывает, что любой вектор, лежащий в плоскости, ортогонален векторам $(1,0,0,0)$ и $(0,1,1,1)$, а так как они (спасибо составителям задачи) ещё и друг другу ортогональны, то два из четырех векторов у Вас есть без каких-либо усилий. Но раз Вы пошли другим путем, то ладно.

[Munin]

Оуч. Я могу сразу сказать, что с четвёртым что-то не то.

[StahisT]

svv в сообщении #864901 писал(а):

Нулевой вектор не годится в качестве базисного.

Домножьте два вектора на $14$, ортогональности это не нарушит (если она есть, не проверял), а вид улучшится. Один из них потом ещё разделите на $5$.

(Совет)

Уравнения, задающие плоскость, можно переписать в виде:
$1x+0y+0z+0t=0$
$0x+1y+1z+1t=0$
и далее:
$\langle (x,y,z,t), (1,0,0,0) \rangle=0$
$\langle (x,y,z,t), (0,1,1,1) \rangle=0$
(скалярное произведение у Вас так обозначается?)
Эта форма показывает, что любой вектор, лежащий в плоскости, ортогонален векторам $(1,0,0,0)$ и $(0,1,1,1)$, а так как они (спасибо составителям задачи) ещё и друг другу ортогональны, то два из четырех векторов у Вас есть без каких-либо усилий. Но раз Вы пошли другим путем, то ладно.

исправил....

$\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 13 \\ -37 \\ 38 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

-- 18.05.2014, 18:48 --

Munin в сообщении #864906 писал(а):

Оуч. Я могу сразу сказать, что с четвёртым что-то не то.

там всё хорошо, я единичку потерял

[Munin]

Окей. Теперь, в базисе этих векторов матрица выписывается тривиально. Осталось привести её к исходному базису.

-- 18.05.2014 19:49:39 --

Чёрт, чёрт, чёрт, ещё не тривиально, там ещё надо длину векторов учесть.

[StahisT]

Munin в сообщении #864909 писал(а):

Окей. Теперь, в базисе этих векторов матрица выписывается тривиально. Осталось привести её к исходному базису.

-- 18.05.2014 19:49:39 --

Чёрт, чёрт, чёрт, ещё не тривиально, там ещё надо длину векторов учесть.

так, я записываю эти вектора в матрицу по столбцам и что с ней делать?

[Munin]

Если запишете - это будет матрица перевода из стандартного в новый базис. От неё надо ещё найти обратную - это будет матрица перевода обратно. И $T^{-1}RT.$

-- 18.05.2014 20:02:39 --

Hint: если всё ж таки отнормировать вектора, то во-первых, матрицу поворота будет проще писать, а во-вторых, что намного ценнее, $T^{-1}=T^{\mathrm{T}}.$

[StahisT]

Munin в сообщении #864918 писал(а):

Если запишете - это будет матрица перевода из стандартного в новый базис. От неё надо ещё найти обратную - это будет матрица перевода обратно. И $T^{-1}RT.$

так, а $R$ - это матрица из исходных векторов?

Ну я умножу их, но мне же эту плоскость на угол надо повернуть по условию

-- 18.05.2014, 19:05 --

Да и в базисе из единичных векторов. Чёрт, это всё заново делать?

[Munin]

StahisT в сообщении #864920 писал(а):

так, а $R$ - это матрица из исходных векторов?

$R$ - это матрица поворота в новом базисе. В новом базисе она должна осуществлять поворот в плоскости 1-го и 2-го базисных векторов на ваши $\pi/3$ (кстати, ещё можно поразвлечься размышлением, в какую сторону), а 3-й и 4-й базисные вектора оставлять на месте.

StahisT в сообщении #864920 писал(а):

Ну я умножу их, но мне же эту плоскость на угол надо повернуть по условию

Результат умножения и будет то, что вам надо.

-- 18.05.2014 20:06:50 --

Причём, что смешно, он уже от вашего самодельного базиса будет не зависеть.

-- 18.05.2014 20:07:26 --

StahisT в сообщении #864920 писал(а):

Да и в базисе из единичных векторов. Чёрт, это всё заново делать?

Что заново? Просто отнормируйте векторы. Вы умеете делить все координаты на норму вектора?

[ewert]

StahisT в сообщении #864907 писал(а):

исправил....

$\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 13 \\ -37 \\ 38 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Уж исправил. Они буквально все-все ортогональны?... даже второй с третьим?...

И первые два -- формально и сойдут, но очень-очень неудачно выбраны.

[StahisT]

Munin в сообщении #864923 писал(а):

StahisT в сообщении #864920 писал(а):

так, а $R$ - это матрица из исходных векторов?

$R$ - это матрица поворота в новом базисе. В новом базисе она должна осуществлять поворот в плоскости 1-го и 2-го базисных векторов на ваши $\pi/3$ (кстати, ещё можно поразвлечься размышлением, в какую сторону), а 3-й и 4-й базисные вектора оставлять на месте.

StahisT в сообщении #864920 писал(а):

Ну я умножу их, но мне же эту плоскость на угол надо повернуть по условию

Результат умножения и будет то, что вам надо.

-- 18.05.2014 20:06:50 --

Причём, что смешно, он уже от вашего самодельного базиса будет не зависеть.

-- 18.05.2014 20:07:26 --

StahisT в сообщении #864920 писал(а):

Да и в базисе из единичных векторов. Чёрт, это всё заново делать?

Что заново? Просто отнормируйте векторы. Вы умеете делить все координаты на норму вектора?

Тааак, я запутался

Я получил после ортогонализации матрицу $T$ , найду, зная её $T^{-1}$
А как $R$ найти? Нормировать - это поделить почленно каждый вектор на его длину. Так?

-- 18.05.2014, 19:18 --

ewert в сообщении #864925 писал(а):

StahisT в сообщении #864907 писал(а):

исправил....

$\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 13 \\ -37 \\ 38 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Уж исправил. Они буквально все-все ортогональны?... даже второй с третьим?...

И первые два -- формально и сойдут, но очень-очень неудачно выбраны.

и правда не 2 и 3
я с первым проверил его, но ведь считал по формуле...
Может тогда подскажете какие взять лучше вектора?

[Munin]

StahisT в сообщении #864927 писал(а):

А как $R$ найти?

Очень просто. Вы уже написали в первом сообщении матрицу, которая поворачивает плоскость, натянутую на 2-й и 3-й базисные векторы. А надо будет - на 1-й и 2-й. Ведь именно они у вас, по построению, лежат в той плоскости, которая и нужна в задании.

StahisT в сообщении #864927 писал(а):

Нормировать - это поделить почленно каждый вектор на его длину. Так?

Да.

-- 18.05.2014 20:22:54 --

StahisT в сообщении #864927 писал(а):

Может тогда подскажете какие взять лучше вектора?

post864901.html#p864901

[ewert]

StahisT в сообщении #864927 писал(а):

Может тогда подскажете какие взять лучше вектора?

У Вас ведь там система всего из двух уравнений, но зато с четырьмя неизвестными и с очень простыми коэффициентами. В этой ситуации два базисных вектора легче всего просто подобрать. Вот и подберите их просто из плюс-минус единичек, а потом и ортогонализуйте.

[StahisT]

Подобрал

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

-- 18.05.2014, 20:15 --

Цитата:

StahisT в сообщении #864927 писал(а):

Может тогда подскажете какие взять лучше вектора?

post864901.html#p864901

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

с так подобранными ортогонализовать не придётся?
сразу можно матрицу составить, найти обратную и домножить на поворотную?

и кстати, как всё-таки в базис из единичных перейти? это после всего? или сейчас нормировать? и что должно в результате нормирования получиться?

[Munin]

StahisT в сообщении #864941 писал(а):

с так подобранными ортогонализовать не придётся?

Всегда придётся ортогонализовать, и вообще-то хорошо бы нормировать.

StahisT в сообщении #864941 писал(а):

и кстати, как всё-таки в базис из единичных перейти? это после всего? или сейчас нормировать? и что должно в результате нормирования получиться?

Куча вопросов, как будто вы вообще ничего не понимаете.

Сориентируйтесь в ситуации, напишите, что вам понятно, и назовите, что именно непонятно.

[StahisT]

Munin в сообщении #864958 писал(а):

StahisT в сообщении #864941 писал(а):

с так подобранными ортогонализовать не придётся?

Всегда придётся ортогонализовать, и вообще-то хорошо бы нормировать.

StahisT в сообщении #864941 писал(а):

и кстати, как всё-таки в базис из единичных перейти? это после всего? или сейчас нормировать? и что должно в результате нормирования получиться?

Куча вопросов, как будто вы вообще ничего не понимаете.

Сориентируйтесь в ситуации, напишите, что вам понятно, и назовите, что именно непонятно.

тааак.

я беру векторы:

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

при попытке ортогонализовать их, получаются они же, значит я сразу выбрал базис ортонормированный.

а нормирую, везде элемент на корень делённый получаю. это так должно быть?

Матрица R то такая?
$\begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$