Задачки по функциональному анализу

[ohod]

Добрый день, уважаемые форумчане!
Я заочник, сейчас готовлюсь к сдаче зачета. Несколько задач остались для меня непонятными :\ Помогите, пожалуйста, разобраться и решить задачки!

1. В линейном пространстве $H_{1}[a, b]$ (пространство функций, непрерывно дифференцируемых на $[a, b]$?):
$(x, y) =\int\limits_{a}^{b} [x(t)y(t)+x'(t)y'(t)]dt$ . Является ли пространство $H_{1}$ гилбертовым?

2. Доказать, что функционал $<x, f> = \int\limits_{-1}^{1} x(t)dt- x(0)$ в пространстве $C [-1; 1]$ является линейным непрерывным и найти его норму.

3. Является ли оператор $A: C[0;1] \to C[0;1] Ax(t) = tx(t)$ вполне непрерывным?


По поводу задачки (2).
Оператор является непрерывным, если для всех ${X_{n}}$ верно, что из $X_{n} \to X_{0}$ следует $f(X_{n}) \to f(X_{0})$. Так же существует утверждение, что из непрерывности в точке $х=0$ следует непрерывность вообще. Можно ли применить это к функционалу (который, как я понимаю, является частным случаем оператора)? Если да, то доказательство непрерывности сводится к тому, что мне необходимо доказать следствие сходимости $f(x) $ из сходимости последовательности $ X$, взяв при этом $X_{0}=0$? Накладывает ли пространство $C[-1; 1] $какие-то ограничения на непрерывность?..
А как доказывается непрерывность функционала? И как искать норму?

По поводу задачки (3).
Вполне непрерывный оператор, согласно определению, это тот, который переводит замкнутый единичный шар $X$ в компактное множество $Y$.
Стоит ли действовать по определению или же есть какие-то утверждения или теоремы?

По поводу задачки (1).
Гильбертово пространство - линейное нормированное пространство, полное относительно нормы $\left\| x \right\| = \sqrt{(x,x)}$.
То, что оно линейное - следует из условия. То, что определено скалярное произведение - тоже (ведь то, что мне дано $(x,y).$.. - это ведь скалярное произведение, да? ).
Как тут доказать полноту относительно нормы?

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении вообще двигаться и как решить эти 3 задачки?
Заранее спасибо большое за помощь!

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

ohod
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[мат-ламер]

ohod в сообщении #864353 писал(а):

Как тут доказать полноту относительно нормы?

А попробуйте контрпример строить.

-- Сб май 17, 2014 21:22:59 --

ohod в сообщении #864353 писал(а):

По поводу задачки (2).

ohod в сообщении #864353 писал(а):

А как доказывается непрерывность функционала? И как искать норму?

Я бы начал с поиска нормы.

[ewert]

ohod в сообщении #864353 писал(а):

(пространство функций, бесконечно дифференцируемых на $[a, b]$?):

Нет, конечно. И в связи этим:

ohod в сообщении #864353 писал(а):

$(x, y) =\int\limits_{a}^{b} [x(t)y(t)+x'(t)y'(t)]dt $. Является ли пространство $ H_{1}$ гилбертовым?

-- крайне странный вопрос. Оно гильбертово просто по собственному определению (в вещественном случае, естественно).

ohod в сообщении #864353 писал(а):

в компактное множество $Y$.

Ну пусть в компактное, раз уж у вас модно именно так. Критерий Арцела помните?...

[ohod]

ewert в сообщении #864541 писал(а):

ohod в сообщении #864353 писал(а):

(пространство функций, бесконечно дифференцируемых на $[a, b]$?):

Нет, конечно. И в связи этим:

ohod в сообщении #864353 писал(а):

$(x, y) =\int\limits_{a}^{b} [x(t)y(t)+x'(t)y'(t)]dt $. Является ли пространство $H_{1}$ гилбертовым?

-- крайне странный вопрос. Оно гильбертово просто по собственному определению (в вещественном случае, естественно).

Извините, я при создании темы ошиблась.
В условии задачи дано то, что это пространство непрерывно дифференцируемых на $[a, b]$ функций.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Прошу прощения у всех, придется еще раз отправлять в Карантин.
ohod
Отредактируйте внимательно свое сообщение на предмет того, чтобы каждая формула была окружена в первую очередь долларами. Тега math недостаточно. При предпросмотре формула должна выглядеть как

[math]$x+y$[/math]

Нужно оформлять все формулы треда, а не только в стартовом посте.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[ewert]

ohod в сообщении #864546 писал(а):

В условии задачи дано то, что это пространство непрерывно дифференцируемых на $[a, b]$ функций.

Тогда см.:

мат-ламер в сообщении #864513 писал(а):

А попробуйте контрпример строить.

Бесконечная дифференцируемость -- это безумно жёсткое требование. Оно никак не может сохраняться нормой, контролирующей лишь первую производную, и даже не важно в каком именно смысле контролирующей.

(Оффтоп)

И я бы ещё убедительно предложил вашему начальству не использовать общепринятые обозначения в качестве своих самопальных -- это совершенно неприлично; но, к сожалению, у меня с ним нет связи.