Попробуем ещё примерчик.
Возьмём конкретную группу

кватернионных единиц. В ней восемь элементов

(минус стоит считать частью обозначения, и это
не взятие обратного элемента), которые умножаются так:

,

,

,

, где

— любой элемент. Из этих соотношений можно восстановить всю таблицу умножения и следует, например,

или

.
Введём указанную в условии операцию

:

. Теперь пускай

и

. Это означает, что

и т. д., и этим заданием определяются все свойства

. Если указать какое-то ещё равенство для него, оно может противоречить текущему определению. Например,

не совместимо с

:

Не равны правые части, так что не равны и левые.
Или другой пример:

. Это не значит, что

. В самом начале изучения теории групп показывается, что

. В обратном порядке.
В такой ситуации особенно важно помнить, что дано, а что не дано и было введено вами, и что требуется, но тоже не дано. Вы смешиваете всё вместе, не разделяя никакими логическими связками, и в результате получается то, что получается — не доказательство. Аккуратнее рассмотрите, что получается, если взять

. Остальное:

—
не дано. И проверяйте ваши ходы на какой-то конечной неабелевой группе типа

, чтобы отбросить заведомо неверные.
