Изоморфизм групп.

[provincialka]

arseniiv, вы тоже решили подсказывать? Давайте дождемся реакции ТС-а.

[arseniiv]

Вчера ночью я подумал, что было бы хорошо сказать: «вот видите, тут они получились в обратном порядке. А нам надо в прямом — что можно сделать?», но, во-первых, это уже успели указать вы, и, во-вторых, это не попало в мишень ввиду её отсутствия. И, раз уж карты открыты, надо хотя бы показать, как ими ходить.

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #864322 писал(а):

И, раз уж карты открыты, надо хотя бы показать, как ими ходить.

Картами не ходют, они же не шахматы...

[misha89]

provincialka в сообщении #864242 писал(а):

misha89, давайте вернемся к самой задаче. Плохо, что вы пишете цепочки равенств, не понимая их смысл. Они у вас трех типов
1. Предположение. Например, $\varphi (x)=x^{-1}$
2. То, что нужно доказать (а что?). Этим равенством мы не можем пользоваться, как известным.
3. Тождество: равенство, верное для любых элементов группы.

Нужно доказать предположение взяв, например, два элемента.

Munin в сообщении #864262 писал(а):

provincialka в сообщении #864242 писал(а):

misha89, давайте вернемся к самой задаче. Плохо, что вы пишете цепочки равенств, не понимая их смысл. Они у вас трех типов

Добавлю: буквы в этих цепочках равенств бывают тоже нескольких типов.
1. Фиксированный элемент группы.
2. Переменная, принимающая значения на множестве 1.
3. Отображения, индексы - то, что не является элементами группы.

misha89
Скажите, вы понимаете разницу между 1 и 2? И понимаете, что значат буквы в равенствах в том задании, которое вам дали?

1. Это, например, единичный элемент. или образующий.
2. некий x_1, который просто для удобства так обозначен, а какое именно значение он принимает - непонятно или неважно.


Буквы в равенстве - это вы про

$$ab = b*a$$

? Это просто два каких-то элемента. а может принимать значения от $x_1 ...x_n$, так же и б, только они не равны между собой.

Nemiroff в сообщении #864302 писал(а):

provincialka в сообщении #864166 писал(а):

ладно, больше не могу терпеть. Возьмите в качестве отображения взятие обратного элемента

Ну и зачем? Человек определения изоморфизма не знает — пусть учится.

Определение и понимание разные вещи. Когда мои ребята перед экзаменом зубрят, я их не понимаю. Как можно зубрить то, что не понимаешь, а если понимаешь, тогда зачем заучиваешь.
Прочитать определение и даже выучить его я могу. Другое дело, что в книге не написан практический смысл этого определения. Я выдвинул свое предположение про интерполяцию и его отвергли.
Далее мне подсказали, что изоморфизм - это сопоставление двух множеств с одинаковой структурой.
Я это принял. Хорошо.
Понятно, что мои попытки что-то объяснить бессмысленны, вы же знаете определение изоморфизма и других терминов, поэтому нет смысла далее продолжать обсуждение моей неграмотности. Челом бью.

provincialka в сообщении #864306 писал(а):

Каюсь, не удержалась... Но моя подсказка и не помогла...

Теперь-то я понял, что вы говорили об "обращении произведения", но я мало того, что гомоморфизм неправильно задавал для двух элементов, так само свойство было дадено в феврале и это единственный раз, когда оно пригодилось. Это не оправдание конечно, просто облажался.

arseniiv в сообщении #864310 писал(а):

Попробуем ещё примерчик.

Возьмём конкретную группу $Q_8$ кватернионных единиц.

У нас не было такой группы, но я понял ваш намек.

arseniiv в сообщении #864310 писал(а):

Аккуратнее рассмотрите, что получается, если взять $\varphi(x) = x^{-1}$. Остальное: $\varphi(x\cdot y) = x\cdot y, \varphi(x\cdot y) = \varphi(x)*\varphi(y)$ — не дано.

$ $$\varphi(x) = x^{-1}; $$ \varphi(x \cdot y) = (x \cdot y) ^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}; \varphi(x \cdot y) = \varphi(x) * \varphi(y) = \varphi(y) \cdot \varphi(x) = y^{-1} \cdot x^{-1}. $

Получается, предположение для двух элементов равно полученному из определения. Значит гомоморфизм выполняется. Это и есть все доказательство гомоморфизма? Этого достаточно для гомоморфизма?

[Munin]

misha89 в сообщении #864372 писал(а):

Буквы в равенстве - это вы про $a\cdot b = b*a$? Это просто два каких-то элемента. а может принимать значения от $x_1 ...x_n$, так же и б, только они не равны между собой.

Хорошо. Просто в самом начале вы произносили совсем другое.

Но кстати, нигде не сказано, что они не равны между собой. Они могут быть выбраны и равными между собой. Равенство должно выполняться и в этом случае.

Эти "типы букв", 1 и 2, аналогичны "числам" и "буквам" в обычной школьной математике. Их ни в коем случае нельзя путать, как вы не путаете и числа с буквами.

[provincialka]

Теперь нормально. Только я бы немного сократила и переделала.
Рассмотрим отображение $\varphi(x) = x^{-1}$, оно взаимно однозначное на $G$. Покажем, что оно сохраняет групповую операцию.
Имеем $\varphi(x \cdot y) = (x \cdot y) ^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}=\varphi(y) \cdot \varphi(x) $, что совпадает с $\varphi(x) \ast \varphi(y) $.

[misha89]

Munin в сообщении #864380 писал(а):

Но кстати, нигде не сказано, что они не равны между собой. Они могут быть выбраны и равными между собой. Равенство должно выполняться и в этом случае.

Эти "типы букв", 1 и 2, аналогичны "числам" и "буквам" в обычной школьной математике. Их ни в коем случае нельзя путать, как вы не путаете и числа с буквами.

Например единичный елемент $e \cdot e = e *e$, верно?

Да спасибо.

-- 17.05.2014, 16:48 --

provincialka, Да, спасибо большое)

А сюръективностью будет то, что для каждого обратного элемента существует обратимый.

Теперь задача решена?

[Nemiroff]

misha89 в сообщении #864372 писал(а):

Далее мне подсказали, что изоморфизм - это сопоставление двух множеств с одинаковой структурой.
Я это принял. Хорошо.

Плохо. Хорошо было бы, если бы вы прочли учебник и разобрались, что такое гомоморфизм, что такое изоморфизм и т. д.

[Munin]

misha89 в сообщении #864386 писал(а):

Например единичный елемент $e \cdot e = e *e$, верно?

Да, но не только единичный.

[arseniiv]

misha89 в сообщении #864372 писал(а):

$\varphi(x \cdot y) = \varphi(x) * \varphi(y) = \varphi(y) \cdot \varphi(x) = y^{-1} \cdot x^{-1}.$

Тут порядок неправильный. Сначала мы не знаем, гомоморфизм ли $\varphi$. Мы ведь это и пытаемся доказать. Так что первое равенство взято с потолка.

Если читать в обратном порядке до $\ldots = \varphi(x)*\varphi(y)$, получится и ясно в одну строчку, и даже верно. Тогда слева от цепочки равенств будет $\varphi(x\cdot y)$ из вашей предыдущей строки, а справа — $\varphi(x)*\varphi(y)$.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #864328 писал(а):

Картами не ходют, они же не шахматы...

Или тогда «с какой заходить».